『笔记』SPFA判断负权环

基本定义

什么是负权环？？

负权环指的是图上的某些边首尾相连构成的，边权和相加小于零的一条环。

例如：

下图中 \(1 \to 2\) \(\to 3\) \(\to 1\) 就是一条负权环，权值和为 \(-1\) 。而 \(2 \to 3\) \(\to 4\) \(\to 5\) 则是一条环而不是负权环，其权值和为 \(10\) 。

性质

显而易见，如果某图存在负权环，那么求最短路的时候如果不特殊处理，那么就会导致程序在负权环上一直转圈圈，所谓的最短路权值和就会越转越小，知道程序优美 \(TLE\) 掉。

基本操作

如何判断负权环呢？？

死去的SPFA就是一大利器！！

“请求最短路”：关于____，它____。

“本题存在负环”：关于____，它复活了？！

SPFA BFS型

优缺点

• 代码简单，思路简洁，和求最短路的 \(SPFA\) 代码相似度高。

• 比较慢，容易超时。

实现思路

• 对每一个进行最短路求权，对每一条边进行最短路松弛。

• 如果有某一个点入队次数超过节点总数，则说明存在负环。

• 正确性：

  对于 \(BFS\) ，一次 \(BFS\) 中，没有负环的情况下一个点最多入队 \(n\) 次（从源点出发连向所有其它点,而所有其他点又指向一个点，每个点正好将这个点更新一次,入队一次）。

  如果说还能再更新一次这个点，那一定是这个点出发跑了一个负环再到达自己，\(num\) 在进入是否入队的判断中执行。

代码

bool SPFA_BFS(int st)
{
    q.push(st);
    vis[st] = true;
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.front();

        q.pop();
        vis[u] = false;

        for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
        {
            int v = e[i].to;

            if (dis[v] > dis[u] + e[i].dis)
            {
                dis[v] = dis[u] + e[i].dis; //最短路松弛

                num[v] = num[u] + 1; //记录某节点出现次数

                if (num[v] >= n) //若大于总节点数，则存在负环
                    return true;

                if (!vis[v])
                {
                    num[v]++;
                    /*
                    if(num[v]>=n)
                        return true;
                    */
                    q.push(v);
                    vis[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

SPFA DFS型

优缺点

• 效率相对 \(BFS\) 直接起飞。 虽然特殊构造的图还是会爆炸。。。

• 一次质能处理判断一个源点出发是否存在负权环。如果要判断整个图，就需要拓展 \(n\) 个节点。

实现思路

• 在一次搜索中，一旦一个点更新了两次，就说明有负环

• 正确性：
  首先搜到一个点两次肯定是有环的，然后第一次更新完了第二次又更新了，除非环的权值是负的，否则不可能更新，于是这样就简单的找到了负环。

代码

bool check(int st)
{
    vis[st] = true;

    for (int i = head[st]; i; i = e[i].nxt)
    {
        int v = e[i].to;

        if (dis[v] > dis[st] + e[i].dis)
        {
            dis[v] = e[i].dis + dis[st];

            if (!vis[v])
            {
                if (SPFA_DFS(v)) //前面搜到了负环
                    return true;
            }
            else
                return true; //一次深搜中搜了一个点两次,则存在负环。
        }
    }
    vis[st] = false;

    return false;
}

典型例题

P2850 [USACO06DEC]Wormholes G

#10085. 「一本通 3.3 练习 2」虫洞 Wormholes

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