单调队列的操作
举例
不妨用一个问题来说明单调队列的作用和操作：
不断地向缓存数组里读入元素，也不时地去掉最老的元素，不定期的询问当前缓存数组里的最小的元素。
最直接的方法：普通队列实现缓存数组。
进队出队都是O(1)，一次查询需要遍历当前队列的所有元素，故O(n)。
用堆实现缓存数组
堆顶始终是最小元素，故查询是O(1)。
而进队出队，都要调整堆，是O(log(n))。
RMQ的方法
单调队列的舞台
由于单调队列的队头每次一定最小值，故查询为O(1)。
进队出队稍微复杂点：
进队时，将进队的元素为e，从队尾往前扫描，直到找到一个不大于e的元素d，将e放在d之后，舍弃e之后的所有元素；如果没有找到这样一个d，则将e放在队头(此时队列里只有这一个元素)。
出队时，将出队的元素为e，从队头向后扫描，直到找到一个元素f比e后进队，舍弃f之前所有的。(实际操作中，由于是按序逐个出队，所以每次只需要出队只需要比较队头)。
每个元素最多进队一次，出队一次，摊排分析下来仍然是 O(1)。
上面的话可能还是没能讲出单调队列的核心：队列并不实际存在的，实际存在的是具有单调性的子序列。对这个子序列按心中的队列进行操作，譬如在进队时丢弃的元素，虽然它不存在于这个子序列里，但是还是认为他存在于队列里。
另外，进队的顺序和出队的顺序并不一定相同，因为这个队列本身是隐含存在的，可以在进队时看成一个队列，出队时看成另一个队列，只要出队的元素在队列中就行。可以想象成一个队列只有头和身，另一个队列只有身和尾，而这身是共用的。
在OI赛场上，大多数题目为单调队列力所不能及的，取而代之的是单调队列基础上改进的斜率优化，单调栈等，因为其限制条件，故潜力不大。但需要掌握，因为有许多算法建立在其基础上。
例如斜率优化即为f[i] = min/max{f[j] + g[i] * g[j]}，和单调队列尤为相似。
单调栈即为单调队列的“栈”版。
这两种复杂度也是O(n)的。
在信息学竞赛的一些应用
动态规划·单调队列的理解
做动态规划时常常会见到形如这样的转移方程：
f[x] = max or min{g(k) | b[x] <= k < x} + w[x]
(其中b[x]随x单调不降，即b[1]<=b[2]<=b[3]<=...<=b[n])
(g[k]表示一个和k或f[k]有关的函数，w[x]表示一个和x有关的函数)
这个方程怎样求解呢？我们注意到这样一个性质：如果存在两个数j, k，使得j <= k，而且g(k) <= g(j)，则决策j是毫无用处的。因为根据b[x]单调的特性，如果j可以作为合法决策，那么k一定可以作为合法决策，并且k是一个比j要优的决策。因为k比j要优，（注意：在这个经典模型中，“优”是绝对的，是与当前正在计算的状态无关的），所以，如果把待决策表中的决策按照k排序的话，则g(k)必然是不降的。在此例中决策表即f[x].
这样，就引导我们使用一个单调队列来维护决策表。对于每一个状态f(x)来说，计算过程分为以下几步：
1、 队首元素出队，直到队首元素在给定的范围中。
2、 此时，队首元素就是状态f(x)的最优决策，
3、 计算g(x)，并将其插入到单调队列的尾部，同时维持队列的单调性（不断地出队，直到队列单调为止）。
单调队列指一个队列中的所有的数符合单调性（单调增或单调减），在信息学竞赛的一些题目上应用，会减少时间复杂度