题解-CF360D Levko and Sets

题面

CF360D Levko and Sets

给定 (a{n}) 和 (b{m}) 和质数 (p)。对于每个 (a_i)，生成一个集合，刚开始只有 (1)，每次从集合中选一个元素 (c)，对于所有的 (j)，如果满足 (c imes a_i^{b_j}mod p) 不在当前集合，就把它加入集合。求 (n) 个集合并的大小。

数据范围：(1le nle 10^4)，(1le mle 10^5)，(2le ple 10^9)。

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题解

之前 VP 场上没做出来后来学了 zhouyuyang 的做法，然后发现学了个假做法。

Hack：2 1 13 3 5 1；答案：6；错误输出：7。

设 (varphi=p-1)，(g=gcd(varphi,gcd_{i=1}^m b_i))，(G) 是 (p) 任意一个原根。

很明显每个集合元素就是 ({a_i^{gk}mod p|kin N})。

(u^{x}equiv u^{xmod varphi}pmod p)。(xin[0,varphi)) 与 (f(x)=G^{x}in [1,p)) 一一对应。

所以搞出所有 (varphi) 的因数，可以得到对于所有的 (i)，最小的 (c_i) 满足 ({a_i}^{gc_i}equiv 1pmod p)。那么这个集合有 (c_i) 个元素。

考虑是哪 (c_i) 个元素：({a^{g},a^{2g},...,a^{(c_i-1)g}})（(mod p)，下同）。

或者说：({G^{0},G^{varphi/c_i},G^{2varphi/c_i},...,G^{(c_i-1)varphi/c_i}})。这两个集合是等价的。

设 (s_i=frac{varphi}{c_i})，求 (n) 个集合的并集，问题转化为：有多少个 (1le xle varphi) 满足 (exists s_i|x)。

很多人这里写错了，可是 Codeforces 的数据不强，误导了好多人。

设 (d|varphi:f(d)) 表示 (d) 的倍数中只被 (d) 标记不被 (d) 的其他是 (varphi) 的因数的倍数标记的数的个数。

如果 (exists s_i|d)，(f(d)=frac{varphi}{d}-sum_{dk|varphi}f(dk))；否则 (f(d)=0)。

然后答案是 (sum_{d|varphi} f(d))，时间复杂度 (Theta((n+m)log p+d(varphi)(n+d(varphi))))。

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define x first
#define y second
#define bg begin()
#define ed end()
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define sz(a) int((a).size())
#define R(i,n) for(int i(0);i<(n);++i)
#define L(i,n) for(int i((n)-1);i>=0;--i)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int N=1e4,M=1e5,d_N=4e4;
int n,m,p,a[N],b[M],c[N];
int d_n,pd[d_N],f[d_N];

//Math
int gcd(int a,int b){return a?gcd(b%a,a):b;}
int mypow(int a,int x=p-2,int res=1){
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%p)
        (x&1)&&(res=1ll*res*a%p);
    return res;
}

//Main
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m>>p;
    int phi=p-1,g=phi;
    R(i,n) cin>>a[i];
    R(i,m) cin>>b[i],g=gcd(g,b[i]);
    for(int d=1;d*d<=phi;++d)if(phi%d==0)
        pd[d_n++]=d,d*d<phi?pd[d_n++]=phi/d:0;
    sort(pd,pd+d_n);
    R(i,n){
        int t=mypow(a[i],g);
        R(j,d_n)if(mypow(t,pd[j])==1)
            {c[i]=phi/pd[j]; break;}
    }
    int ns=0;
    L(i,d_n){
        bool mark=false;
        R(j,n)if(pd[i]%c[j]==0){mark=true; break;}
        if(mark){
            f[i]=phi/pd[i];
            for(int j=i+1;j<d_n;++j)
                if(pd[j]%pd[i]==0) f[i]-=f[j];
            ns+=f[i];
        }
    }
    cout<<ns<<'
';
    return 0;
}

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祝大家学习愉快！