2018 Multi-University Training Contest 1

2018 Multi-University Training Contest 1

题解

A - Maximum Multiple

题目描述：给定一个(n)，找到三个正整数(x, y, z)，满足(n=x+y+z, x|n, y|n, z|n)，求(xyz)最大值

solution
这道题竟然卡住了。。。
不妨设(x leq y leq z)，则(z geq frac{n}{3})，所以(z=frac{n}{2}, frac{n}{3})，假如(z=frac{n}{3})，则(x=y=z=frac{n}{3})为这种情况的最优解，假如(z=frac{n}{2}), 则(y geq frac{n}{4})，若(y=frac{n}{3}),则(x=frac{n}{6}), 不够三个都为(frac{n}{3})时优（因为(y)能取(frac{n}{3})，说明(n)为(3)的倍数，因此也能取三个都为(frac{n}{3})），若(y=frac{n}{4})，则(x=frac{n}{4})。
综上所述，只有三种情况：1、(n=frac{n}{3}+frac{n}{3}+frac{n}{3}) 2、(n=frac{n}{2}+frac{n}{4}+frac{n}{4}) 3、无解

时间复杂度：(O(1))

B - Balanced Sequence

题目描述：给定(n)个括号序列，求出按一定顺序排列后，连起来的括号序列的最长合法子序列（不是子串）。

solution
首先每个括号序列的合法子序列可以先加入答案，然后每个序列就会变成若干个')'接着若干个'('，记')'个数为(a_i)，'('个数为(b_i)，然后按照一定规则排序。

若(a_i<b_i, a_j geq b_j)，则(i)排在(j)的前面
若(a_i geq b_i, a_j<b_j)，则(j)排在(i)的前面
若(a_i<b_i, a_j < b_j)，则(a)比较小的排前面
若(a_i geq b_i, a_j geq b_j)，则(b)比较大的排前面

最后排完序拼起来算一次答案即可。

时间复杂度：(O(n))

C - Triangle Partition

题目描述：给定平面上(3n)个点（任意三个点不在一条直线上），求出一种分成(n)个不相交的三角形的方案。

solution
按极角排序后的顺序依次构三角形即可。

时间复杂度：(O(nlogn))

D - Distinct Values

题目描述：构造一个长度为(n)的序列，满足对于给定的(m)个区间，任意一个区间里的数字两两不同，求字典序最小的序列。

solution
将区间按左端点从小到大排序，左端点相同的只保留右端点最大的。
一开始整个序列都为(1)，记录当前填完(R)之前的数，用(set)记录当前可用的数字，做到第(i)个区间时，把前一个区间的左端点到(min(R，i区间左端点-1))的数字放回(set)里面，然后贪心地填(max(R+1, i区间左端点))到(i)区间右端点，填一个在(set)里删一个，更新(R)。

时间复杂度：(O(nlogn))

G - Chiaki Sequence Revisited

题目描述：求

[a_n=left{egin{matrix} 1, & n=1,2\ a_{n-a_{n-1}}+a_{n-1-a_{n-2}}, & ngeq 3 end{matrix} ight. ]

的前(n)项和

solution
除了(1)出现了两次之外，其它数字(x)出现的次数为(d, x=2^{d}y)，所以可以二分出最后一个数字是多少，然后求和就好了。

时间复杂度：(O(logn))

H - RMQ Similar Sequence

题目描述：给定一个长度为(n)的序列(A)，构造出它的笛卡尔树，然后有一个长度为(n)的(B)序列，(B)序列的每一位数服从([0, 1])实数均匀分布，构造它的笛卡尔树，若两者相同，则该(B)序列的权值为所有数的和，否则为(0)，求权值的期望。

solution
答案为(frac{n}{2} frac{A的拓扑序列个数}{n!})，后面(A)的拓扑序列个数有公式算:(frac{n!}{prod size_i})，当时我是按儿子要小于父亲，用积分算出(B)序列的概率，而出现的概率就等于(frac{A的拓扑序列个数}{n!})

时间复杂度：(O(n))

I - Lyndon Substring

题目描述：给定(n)个字符串，有(m)个询问，每次询问两个字符串连起来后的最长(Lyndon word)子串的长度。

solution
题解说一个字符串的最长(Lyndon word)子串的长度为最长(Lyndon factorization)（就是求一个字符串的最小循环表示的算法）后最长那个串的长度。因此问题在于如何合并两个(Lyndon factorization)，题解说利用单调性（(Lyndon factorization)后是单调不上升的）用两个二分即可，但还没想出来。

K - Time Zone

题目描述：给北京时间，问某个时区的时间。

solution
模拟

时间复杂度：(O(1))