[CQOI2011]放棋子

题意

https://www.luogu.org/problem/P3158

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思考

设$f_{i,j,k}$为用前k种棋子，在满足条件的情况下，在i*j的棋盘上每行每列都至少有一枚棋子的总方案数。转移为：

$f_{i,j,k}=sum_{i_1 leq i}sum{j_1 leq j}{{f_{i-i_1,j-j_1,k-1}*g_{i_1,j_1,a_k}*C(i,i_1)*C(j,j_1)}}$

其中g的含义为正在i*j的棋盘上放k个同色的棋子，每行每列都至少有一枚棋子的总方案数。考虑g的容斥，转移为：

$g_{i,j,k}=C(i*j,k)-sum_{i_1 leq i}sum_{j_1 leq j}{{g_{i_1,j_1,}*C(i,i_1)*C(j,j_1)}}(i_1!=i  or  j_1!=j)$

时间复杂度为$O(n^5*k)$。

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代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000009
using namespace std;
typedef long long int ll;
int n,m,c,a[55];
ll ans,C[1005][1005],g[35][35][1005],f[35][35][15];
void init()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=1000;++i)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;++j)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
    for(int i=1;i<30;++i)
        g[0][i][0]=g[i][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            for(int k=1;k<=i*j;++k)
            {
                ll sum=0;
                for(int i1=1;i1<=i;++i1)
                    for(int j1=1;j1<=j;++j1)
                        if(i1*j1>=k&&(i1!=i||j1!=j))
                            sum=(sum+g[i1][j1][k]*C[i][i1]%mod*C[j][j1]%mod)%mod;
                g[i][j][k]=(C[i*j][k]-sum+mod)%mod;
            }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m>>c;
    for(int i=1;i<=c;++i)
        cin>>a[i];
    init();
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            for(int k=1;k<=c;++k)
                for(int i1=0;i1<=i;++i1)
                    for(int j1=0;j1<=j;++j1)
                        f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i1][j1][k-1]*g[i-i1][j-j1][a[k]]%mod*C[i][i1]%mod*C[j][j1]%mod)%mod;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=m;++j)
            ans=(ans+f[i][j][c]*C[n][i]%mod*C[m][j]%mod)%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}