[USACO21JAN] Paint by Letters P

题意

对于一个(n imes m)的矩形，每个方格都有一个颜色。
令其价值为：相邻同色两点连边后，其连通块个数。
例如

AAB
BBA
BBB

其价值为(4)，四个连通块分别为

..B    AA.    ...    ...
...    ...    BB.    ..A
...    ...    BBB    ..

给定一个(n imes m)的矩形，每个方格都有一个颜色，用大写字母表示，(q)次询问，每次给定(x_1,y_1,x_2,y_2(1le x_1le x_2le n,1le y_1le y_2le m))，输出这个矩形的价值。

(n,m,qle 1000)

做法

相邻同色点连边后，这是一个平面图，而我们求的是连通块个数
在题目中，矩形中的一个块是描述的一个颜色，为以下我们称为的点
在题目中，矩形中两个相邻块有公共边，但以下我们是点与点间的边，要分清楚

比如，样例

ABBAAAAA
ABAAAABA
CAADABBA
AAAAAAAA

形成的平面图是这样样子的：

欧拉公式：在平面图内，令(V)为点个数，(F)为面个数，(E)为边个数，(C)为连通块个数，有(F+V-E=C+1)

证明：
考虑特殊情况，连通块个数为(1)的情况，若我们能证明(F+V-E=2)，那么多个连通块也同理。
选出该连通块任意生成树，考虑该平面图的对偶图，对偶图两个点存在连边，当且仅当该连边不穿过生成树。
考虑我们得到的对偶图，一定是无环的，若有环，则必定将某两点分割开了，显然与之前得到的生成树矛盾，那么也容易得到这个对偶图是连通的。
生成树的点数为(V)，对偶图的点数为(F)，容易知道其边数和为(E)，有树的定义我们得到(V+F=E+2)。
得证。

有欧拉公式得到(V=V+F-E-1)，那么转化为求(V,F,E)
(V)即为((x_2-x_1+1)(y_2-y_1+1))，边可以通过(O(nm))预处理，通过前缀和(O(1))计算。

现在难点在于求面数(F)。
考虑一个完整的矩形，如何求面数？
令([i,j])为以点((i,j))为左上角的方格，以([i,j])为位置，然后进行遍历，找到围住这个方格可能的四条边，判断哪条边不存在，若不存在则可前往那个点。注意若([i,j])可以走出这个矩形，说明是外面的那个无界面。

我们对于这个完整的矩形，每个面（除无界面），任选一个方格记为关键点，对于查询，查询内部的关键点个数（也可以通过前缀和优化）。
此时遇到一个问题，一个面，在完整的矩形内是有界面，但在这个子矩形中是无界面，如何解决呢？
我们遍历外面这圈红色的方格，查看其关键点是否被统计过（是否关键点包含在子矩形内部），因为这圈红色的相对于这个子矩阵是无界面，然后减去

code

如果不理解可以看下代码，下面的代码未统计无界面，故在统计答案的时候，(C=V+F-E)

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
typedef double dl;
#define opt operator
#define pb push_back
#define pii std::pair<LL,LL>
const LL maxn=1e3+9,mod=998244353,inf=0x3f3f3f3f;
LL Read(){
	LL x(0),f(1); char c=getchar();
	while(c<'0' || c>'9'){
		if(c=='-') f=-1; c=getchar();
	}
	while(c>='0' && c<='9'){
		x=(x<<3ll)+(x<<1ll)+c-'0'; c=getchar();
	}return x*f;
}
void Chkmin(LL &x,LL y){
	if(y<x) x=y;
}
void Chkmax(LL &x,LL y){
	if(y>x) x=y;
}
LL add(LL x,LL y){
	return x+=y,x>=mod?x-mod:x;
}
LL dec(LL x,LL y){
	return x-=y,x<0?x+mod:x;
}
LL mul(LL x,LL y){
	return 1ll*x*y%mod;
}
LL Pow(LL base,LL b){
	LL ret(1); while(b){
		if(b&1) ret=mul(ret,base); base=mul(base,base); b>>=1;
	}return ret;
}
const LL dx[]={0,-1,0,1,0},dy[]={0,0,1,0,-1};
LL n,m,key,q;
LL bel[maxn][maxn],fk[maxn][maxn],fe[2][maxn][maxn],mark[maxn][maxn];
LL vis[maxn*maxn<<1];
pii pos[maxn*maxn<<1];
char s[maxn][maxn];
void Bfs(LL sx,LL sy){
	std::queue<pii> que;
	que.push(pii(sx,sy));
	fk[sx][sy]=1;
	mark[sx][sy]=1;
	++key; pos[++key]=pii(sx,sy);
	bel[sx][sy]=key;
	LL flag(0);
	while(que.size()){
		LL x(que.front().first),y(que.front().second);
		que.pop();
		for(LL i=1;i<=4;++i){
			LL xx(x+dx[i]),yy(y+dy[i]);
			if(x==xx){
				if((s[x][std::max(y,yy)]==s[x+1][std::max(y,yy)])) continue;
			}else{
				assert(y==yy);
				if((s[std::max(x,xx)][y]==s[std::max(x,xx)][y+1])) continue;
			}
			if(xx<1 || xx>n || yy<1 || yy>m){
				flag=1;
				continue;
			}
			if(!mark[xx][yy]){
				bel[xx][yy]=key;
				mark[xx][yy]=1;
				que.push(pii(xx,yy));
			}
		}
	}
	if(flag){
		fk[sx][sy]=0;
		pos[key]=pii(0,0);
	}
}
void Init(){
	for(LL i=1;i<n;++i){
		for(LL j=1;j<m;++j){
			if(!mark[i][j]){
				Bfs(i,j);
			}
		}
	}
	for(LL i=1;i<=n;++i){
		for(LL j=2;j<=m;++j){
			fe[0][i][j]=s[i][j]==s[i][j-1];
		}
	}
	for(LL i=2;i<=n;++i){
		for(LL j=1;j<=m;++j){
			fe[1][i][j]=s[i][j]==s[i-1][j];
		}
	}
	for(LL i=1;i<=n;++i){
		for(LL j=1;j<=m;++j){
			for(LL k=0;k<2;++k){
				fe[k][i][j]+=fe[k][i-1][j]+fe[k][i][j-1]-fe[k][i-1][j-1];
			}
			fk[i][j]+=fk[i-1][j]+fk[i][j-1]-fk[i-1][j-1];
		}
	}
}
LL Getsum(LL sum[][maxn],LL lx,LL ly,LL rx,LL ry){
	if(lx>rx || ly>ry) return 0;
	return sum[rx][ry]-sum[lx-1][ry]-sum[rx][ly-1]+sum[lx-1][ly-1];
}
LL In(LL nw,LL lx,LL ly,LL rx,LL ry){
	if(lx>rx || ly>ry) return 0;
	LL x(pos[nw].first),y(pos[nw].second);
	return lx<=x && x<=rx && ly<=y && y<=ry;
}
int main(){
	n=Read(); m=Read(); q=Read();
	for(LL i=1;i<=n;++i){
		scanf(" %s",s[i]+1);
	}
	Init();
	while(q--){
		LL lx(Read()),ly(Read()),rx(Read()),ry(Read());
		LL V((rx-lx+1)*(ry-ly+1));
		LL E(Getsum(fe[0],lx,ly+1,rx,ry)+Getsum(fe[1],lx+1,ly,rx,ry));
		LL F(Getsum(fk,lx,ly,rx-1,ry-1));
		for(LL i=lx;i<=rx;++i){
			if(!vis[bel[i][ly-1]] && In(bel[i][ly-1],lx,ly,rx-1,ry-1)){
				--F; vis[bel[i][ly-1]]=1;
			}
			if(!vis[bel[i][ry]] && In(bel[i][ry],lx,ly,rx-1,ry-1)){
				--F; vis[bel[i][ry]]=1;
			}
		}
		for(LL i=ly;i<=ry;++i){
			if(!vis[bel[lx-1][i]] && In(bel[lx-1][i],lx,ly,rx-1,ry-1)){
				--F; vis[bel[lx-1][i]]=1;
			}
			if(!vis[bel[rx][i]] && In(bel[rx][i],lx,ly,rx-1,ry-1)){
				--F; vis[bel[rx][i]]=1;
			}
		}
		printf("%d
",V+F-E);
		for(LL i=lx;i<=rx;++i){
			vis[bel[i][ly-1]]=vis[bel[i][ry]]=0;
		}
		for(LL i=ly;i<=ry;++i){
			vis[bel[lx-1][i]]=vis[bel[rx][i]]=0;
		}
	}
	return 0;
}
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