填个去年八月份的坑...
A three term boundary value problem
给定序列({d_1,d_2,ldots,d_{N-1}})，有(au_{n+1}+bu_n+cu_{n-1}=d_n)（(n=1,2,ldots,N-1;u_0=u_N=0)）
求解序列({u_n}_{n=1}^{N-1})。
令(U(x)=sumlimits_{i=0}^N u_ix^i,D(x)=sumlimits_{i=1}^{N-1}d_ix^i)。
根据({u_i})与({d_i})的关系，容易得到：
[frac{a}{x}(U(x)-u_1x)+bU(x)+cx(U(x)-u_{N-1}x^{N-1})=D(x)
]
整理得到，
[(a+bx+cx^2)U(x)=x(D(x)+au_1+cu_{N-1}x^N)
]
对于(a+bx+cx^2=0)的两个解(r_{+},r_{-})，若(r_{+} eq r_{-})，则容易得到：
[egin{aligned}
au_1+(cr_{+}^N)u_{N-1}=-D(r_{+})\
au_1+(cr_{-}^N)u_{N-1}=-D(r_{-})\
end{aligned}]
解出(u_1,u_{N-1})即可。
若(r_{+}=r_{-})，需要另外得到一个关于(u_1,u_{N-1})的等式：
有(a+bx+c=c(x-k)^2)，有
[c(x-k)^2U(x)=x(D(x)+au_1+cu_{N-1}x^N)
]
对(x)微分：
[c(x-k)^2frac{dU(x)}{dx}+2c(x-k)U(x)=x(frac{dD(x)}{dx}+cNu_{N-1}x^{N-1})+(D(x)+au_1+cu_{N-1}x^N)
]
另(x=k)，有，
[0=k(D'(k)+cNu_{N-1}k^{N-1})
]