质数合数相关

OI中质数也是一片神奇的天地QAQ

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质数：设p≠0/1，如果p除了1和p以外，没有其它的约数，那我们称p为质数。

合数：设p≠0/1，如果p除了1和p以外，有其它的约数，那我们称p为合数。

注意：0和1既不是质数也不是合数。

质数的分布定理：我们设π(x）为不大于x的质数的个数，π(x）≈x/Inx;(调和级数）

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在OI中我们常常要判断一个数是不是质数，或是一个区间内部哪些数是质数，这里我们引入几种方法。

一，试除法（常用于判断一个数是否是质数）

从定义出发，我们枚举除了1和p以外所有可能是它的因子，若某个因子能把它整除，那么这个数就是一

个合数，否则是一个质数，注意我们枚举范围到√n即可，原因很显然的嘛

inline bool pd(int x)
{
    if(x<=1) return false;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) return false;
    return true;
}

二，质数筛法（常用语判断一个区间内部哪些数是质数）

筛法顾名思义就是通过筛选确定哪些数。

筛法都运用了一个定理即质数的倍数一定不是质数，这也是很显然的，因为1不是质数，所以如果某个数是

某个质数的倍数，那么这个数就有了别的因子，通过这个定理能筛选出区间中所有质数。

1，埃氏筛（是由古希腊数学家埃....记不住提出的）

和定理几乎一样，就是用在这个区间里的质数，去筛掉所有它能筛掉的合数，就可以。

inline void ai_shai(int n,bool prime)
{
    memset(prime,true,sizeof(prime));//先默认全部都是质数
    prime[1]=prime[0]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(prime[i]) 
        {
            is_prime[++cnt]=i;
            for(int j=2;j*i<=n;j++)
                prime[i*j]=true;
        }
    } 
}

埃氏筛的复杂度是O(nloglogn),应该说可以应付大部分情况了，但仍有可以优化的空间，举个栗子，

12这个合数会被2筛掉一遍，又会被3筛掉一遍，所以造成了时间上的冗余，所以我们可以优化一下，

让所有数，都由它的最小质因子，即（约数是质数的里最小的那一个）筛掉，这样可以去掉冗余，

复杂度为O(n)，是一种线性筛法，名为欧拉筛。

2，欧拉筛

主要思想：所有数都由最小质因子筛去。

inline void ou_shai(int n,int cnt,int prime[],int p[])
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(p[i]==0) prime[++cnt]=i,p[i]=i;
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(i*prime[j]>n||prime[j]>p[i]) break;
            prime[i*prime[j]]=prime[j];//代表i*prime[j]是由prime[j]这个最小质因子筛掉的 
        }
    }
}

至于别的筛法，NOIP考好以后再补充吧，这些对于NOIP够用了。

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关于质数还有个奇妙的东西就是质因数分解。

质因数分解定理：任何一个大于1的正整数都能分解成有限个质数的乘积。

方法：从最小的质数开始除，直到不整除了之后换下一个质数，那我们需要判断哪些数是质数，哪些数

不是质数吗，不用的，因为既然最小的质数都没法整除，它的倍数一定没发整除（合数）。

inline void factorize(int x,int p[],int mi[])
{
    for(int i=2;i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0)
        {
            p[++cnt]=i;
            while(x%i==0)
            {
                x/=i;
                mi[i]++;
            }
        }
    }
    if(x>1)
    {
        p[++cnt]=x;
        mi[x]++;
    }
}