BZOJ1925或洛谷2467 [SDOI2010]地精部落

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先讲下关于波动数列的(3)个性质。

性质(1)：对于数列中的每一对(i)和(i + 1)，若它们不相邻，那么交换这两个数形成的依旧是一个波动数列。
性质(2)：对于任何一个由(1sim n)组成的波动数列，将每个数(a_i)变为(n + 1 - a_i)，形成的依旧是波动数列，且山峰和山谷与原先的数列刚好相反。
性质(3)：波动数列有对称性，即一个波动数列倒过来依旧是波动数列。

由性质(3)，我们可以只考虑第一个数为山峰的情况，最后将答案( imes 2)即可（如果(n = 1)是需要特判的，但这题保证(n geqslant 3)，所以无所谓）。
设(f[i][j])表示由(1 sim i)组成、首位为(j)（且为山峰）的波动数列方案数。
则有状态转移方程：

(qquadqquad f[i][j] = f[i][j - 1] + f[i - 1][i - j + 1])

解释下这个转移方程。

1. 若(j)与(j - 1)不相邻，那么产生的方案数就是(f[i][j - 1])。
   因为当(j - 1)为首位且为山峰，那么(j)显然不可能和它相邻，即不可能在次位，否则(j)就成山谷了，所以根据性质(1)，(j - 1)在首位的方案数即是(j)在首位且与(j - 1)不相邻的方案数。
2. 若(j)与(j - 1)相邻，那么产生的方案数就是(f[i - 1][i - j + 1])。
   因为此时的数列是(j,j - 1,dots)的形式，那么这时的方案数就相当于给你([1,j - 1]cup[j + 1, i])的数，求(j - 1)在首位且为山谷的方案数，由于我们在考虑的数的大小均是相对的，所以给你([j +1,i])等同于给你([j, i - 1])的数，所以就转换为由(1 sim i - 1)组成的波动数列，求(j - 1)在首位且为山谷的方案数，根据性质(2)，这个问题就等同于由(1 sim i - 1)组成的波动数列，求((i - 1) + 1 - (j - 1) = i - j + 1)在首位且为山峰的方案数，即(f[i - 1][i - j + 1])。

最后的答案即为(2 imes sum limits _{i = 2} ^ n f[n][i])，因为(1)在首位不可能为山峰，所以从(2)开始累计。
代码里我使用了滚动数组来缩小空间。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 4210;
int f[2][N];
inline int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + c - '0';
	return p ? -x : x;
}
int main()
{
	int i, j, n, p, s = 0;
	n = re();
	p = re();
	f[0][2] = 1;
	for (i = 3; i <= n; i++)
		for (j = 2; j <= i; j++)
			f[i & 1][j] = (1LL * f[i & 1][j - 1] + f[(i & 1) ^ 1][i - j + 1]) % p;
	for (i = 2; i <= n; i++)
		s = (1LL * s + f[n & 1][i]) % p;
	printf("%lld", 2LL * s % p);
	return 0;
}