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  • 统计假设检验

    统计假设检验可分为参数假设检验非参数假设检验两大部分。

    总体分布形式已知,检验的目的是对总体的参数及其性质作出判断,则称这种检验为参数假设检验

    总体分布形式未知,需对总体分布函数形式或总体之间的关系进行推断,则称为非参数假设检验

    显著性检验:先提出假设,然后作出否定或者不否定的判断,称为显著性检验。

    一、检验法则

    有两个对立的假设,其中(H_0)称为原假设(零假设);(H_1)称为备择假设(对立假设)

    要检验总体均值(mu),实际上可转化为检验样本均值(overline{X}),因为(overline{X})的观察值(overline{x})的大小在一定程度上反映了的(mu)大小。如果(H_0)成立,则(mid overline{x}-mu_0 mid)一般不应太大,如果(mid overline{x}-mu_0 mid)过分大,则可怀疑(H_0)的正确性从而拒绝(H_0),反之则接受(H_0)

    又考虑到当(H_0)成立时,统计量 $frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}} $ ~ $ N(0,1)$,这样衡量 (mid overline{x} - mu_0 mid) 的大小就可等价地归结为衡量 $frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}} $ 的大小,由此我们可选定一正数(k),使得当(frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}} geq k)时,就拒绝(H_0),当(frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}} < k)时,就接受(H_0)

    由于(frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}} ​) ~ $ N(0,1)​$,根据标准正态分布分位点定义可得:

    [P lbrace frac{mid overline{x} - mu_0 mid}{sigma / sqrt{n}} geq k mid H_0为真 brace = P lbrace frac{mid overline{x} - mu_0 mid}{sigma / sqrt{n}} geq u_{1-frac{alpha}{2}} mid H_0为真 brace = alpha​ ]

    这样,我们就得到如下检验法则:

    (frac{mid overline{x} - mu_0 mid}{sigma / sqrt{n}} geq u_{1-frac{alpha}{2}}),则拒绝(H_0)

    (frac{mid overline{x} - mu_0 mid}{sigma / sqrt{n}} < u_{1-frac{alpha}{2}}),则接受(H_0)

    于是,$frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}} $就成了检验统计量。

    当然,这只是讨论了正态总体参数的假设检验问题,对于其他假设检验,虽然检验统计量不同,但其检验法则、基本思路一样。

    二、两类错误

    (一)第I类错误

    (H_0)为真时,我们却作出了拒绝(H_0)的判断,这个时候我们就犯了第I类错误,又称为“弃真”。即在原假设成立的情况下拒绝了原假设,从而把正确的内容当作错误的内容抛弃了。

    犯第I类错误的概率为:(P lbrace 拒绝H_0 mid H_0为真 brace = alpha)

    这里,(alpha)为显著性水平。

    (二)第II类错误

    (H_0)不成立时,却接受(H_0)了,我们称这类错误为第II类错误,又称为“取伪”

    犯第II类错误的概率为:(P lbrace 接受H_0 mid H_0为假 brace = eta)

    现实中(alpha)(beta)的值不可能同时小,也就是说,在样本容量给定的情况下,如果减少犯第I类错误的概率,就可能增加犯第II类错误的概率。由于第I类错误相对于第II类错误导致的后果更为严重,因此现实中的做法通常是对犯第I类错误的概率加以控制,然后再适当考虑犯第II类错误的概率。

    我们把这种只对犯第I类错误的概率加以控制,而不考虑犯第II类错误的检验问题,称为显著性检验问题

    三、基本方法

    参数假设检验通常采用(mu)检验法、(t)检验法、(F)检验法、(chi^2)检验法等

    非参数假设检验通常采用皮尔逊拟合检验、魏氏检验、麦氏检验法

    (一)参数假设检验法

    参数假设检验法具体包括正态总体参数检验和非正态总体参数检验。

    1、正态总体参数检验

    对于正态总体,其参数无非是两个:(mu)(sigma^2)。如果加上两个正态总体的参数一块比较,也只有四种情形:①关于(mu)的检验;②关于(sigma^2)的检验;③关于(mu_1-mu_2)的检验;④关于(frac{sigma_1^2}{sigma_2^2})的检验。

    (1)(mu)检验

    (mu)检验适用于在方差已知的情况下,对期望值(mu)的检验(包括单总体和多总体)。

    a.在单个正态总体情况下,适用检验统计量:

    (mu = frac{mid overline{x}-mu_0 mid}{sigma /sqrt{n}})~(N(0,1))

    b.在两个正态总体情况下,设(x_1,x_2,ldots,x_{n_1}),为出自(N(mu_1,sigma_1^2))的样本,(y_1,y_2,ldots,y_{n_2})为出自(N(mu_2,sigma_2^2))的样本,(sigma_1^2,sigma_2^2)已知,且样本之间相互独立。则适用统计量为:

    (mu = frac{overline{x} - overline{y}}{sqrt{frac{sigma_1^2}{n_1} + frac{sigma_2^2}{n_2}}}) ~ (N(0,1))

    另外,对总体百分数的检验一般也采用检验法进行,其适用统计量为:

    [mu = frac{p_x-p_{mu}}{sqrt{frac{p_{mu}(1-p_{mu})}{n}}} ]

    其中,(p_x)为样本百分数,(p_{mu})为总体百分数。

    (2)(t)检验

    (t)检验适用于当方差未知时对期望值(mu)的检验。总体可以是单总体,也可以是双总体。但如果是双总体,它们之间的样本必须是独立的。

    a.对于单总体,适用检验统计量为:
    (t= frac{overline{x} - mu_0}{frac{s}{sqrt{n}}})~(t(n-1))
    b.对于双总体,可分为两种情况进行讨论。

    第一种情况是,(sigma_1^2,sigma_2^2)未知,但(sigma_1^2=sigma_2^2=sigma^2)。此时可选择检验统计量:
    (t= frac{overline{x} -overline{y}}{s_{omega} cdot sqrt{frac{1}{n_1}+frac{1}{n_2}}})~(t(n_1+n_2-2))

    第二种情况是,(sigma_1^2,sigma_2^2)未知,但(n_1=n_2=n)。此时可考虑采用配对检验法,具体方法如下:

    令:(d_i=x_i-y_i(i=1,2,ldots,n)),并假定(d_1,d_2,ldots,d_n)分别是来自正态总体(N(mu_d,sigma^2))的样本。(mu_d,sigma^2)均未知,(overline{d})(s^2)分别是(d_1,d_2,ldots,d_n)的样本均值和样本方差。若进行双边检验,可令(H_0:mu_d=0,H_1:mu_d eq 0)

    此时可选择(t= frac{overline{d}-0}{frac{s}{sqrt{n}}})~(t_{1-frac{alpha}{2}}(n-1))作为检验统计量,其拒绝域为:

    [c_1= lbrace t mid mid t mid geq t_{1-alpha}(n-1) brace ]

    (3)(chi^2)检验

    (chi^2)检验主要用于对方差(sigma^2)的检验,且适用于单参数情形

    a.(mu)未知

    (x_1,x_2,ldots,x_n)(N(mu,sigma^2))的一个样本,考虑假设:
    (H_0:sigma^2 = sigma_0^2, H_1:sigma^2 eq sigma_0^2)
    (H_0:sigma^2 leq sigma_0^2, H_1:sigma^2 > sigma_0^2)
    适用检验统计量为:
    (chi^2 = frac{(n-1)s^2}{sigma_0^2})~(chi^2(n-1))

    b.(mu)已知

    适用于检验统计量为:

    (chi^2 = frac{sum_{i=1}^n (x_i-mu_0)^2}{sigma_0^2})~(chi^2(n))

    (4)(F)检验

    (F)检验也是用于对方差的检验,不同的是,(F)检验往往用于两参数情形

    (x_1,x_2,ldots,x_{n_1})(y_1,y_2,ldots,y_{n_2})分别为出自(N(mu_1,sigma_1^2))(N(mu_2,sigma_2^2))的样本,且样本之间独立。考虑假设:
    (H_0:sigma_1^2=sigma_2^2, H_1:sigma_1^2 eq sigma_2^2)
    (H_0:sigma_1^2 leq sigma_2^2, H_1: sigma_1^2 > sigma_2^2)

    适用检验统计量为:
    (F=frac{s_1^2}{s_2^2})~(F(n_1-1,n_2-1))

    2、非正态总体参数检验

    非正态总体的抽样分布不易求出,求检验统计量及其分布就很困难了,因此除一些特殊例子外,非正态总体参数的假设检验常采用大样本方法。大样本一般要求(n geq 30),最好(n geq 50)

    (x_1,x_2,ldots,x_n)是总体(X)的样本,(X)~(N(mu,sigma^2 ))(n)足够大。要检验的假设有:

    (1)(H_0:mu=mu_0, H_1:mu eq mu_0)

    (2)(H_0:mu geq mu_0, H_1:mu < mu_0)

    (3)(H_0:mu leq mu_0, H_1:mu > mu_0)

    由于(X)不是正态分布,故求出其检验统计量及其分布比较困难,但当(n)足够大且(H_0)成立时,根据中心极限定理,有:
    (mu = frac{overline{x} - mu_0}{frac{sigma}{sqrt{n}}})~(N(0,1))

    在具体选择检验统计量时,可分两种情况讨论:

    (1)(sigma^2)已知时,可选择检验统计量:

    (mu = frac{overline{x} - mu_0}{frac{sigma}{sqrt{n}}})~(N(0,1))

    (2)(sigma^2)未知时,可选择检验统计量:

    (mu = frac{overline{x} - mu_0}{frac{s}{sqrt{n}}})~(N(0,1))

    (二)非参数检验法

    1、皮尔逊(chi^2)拟合检验法

    2、魏氏(Wilcoxon)检验

    3、麦氏(McNehmar)检验

    参考文献:
    [1] 《统计学》第二版. 2010. 游士兵

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