网络流基本概念和定义

网络流的基本概念

做题大致思路

问题 ( ightarrow) 某种方式建图的网络流 ( ightarrow) 网络流解与原问题解是否等价。

流网络

流网络是一个有向图 (G<V,E>)，其中有两个特殊点 (s,tin V) ，分别为源点和汇点。(G) 中每一条边有一个 (ge 0) 的权值，称作边的容量，边 ((u,v)) 容量可记做 (c(u,v))。

源点相当于一个水源，汇点相当于一个大海，中间的边和点相当于河流水道，水从水源流出，流经河道，流向大海。容量描述的就是这些河流水道的宽度/深度/etc.。

为了简化问题，我们假设若存在边 ((u,v)in E)，则不存在 ((v,u)in E) 。

其实我们也有一种办法消除这种边，只需要将 ((v,u)) 拆成 ((v,t)) 和 ((t,u)) 就可以了。

总之，在考虑问题时，不用考虑反向边。

可行流

对于每一个流网络，我们可以考虑它的任意一个可行流(可简称流)，流用 (f) 来表示，(f(u,v)) 表示的是单位时间内从 (u) 点到 (v) 点流经边 ((u,v)) 的流。

通俗的来说，就是河道里面流了多少水。

就是说我们要指定每一条边的流量得到一个方案 (f) ，若满足两个条件：容量限制 和 流量守恒 ，则称这个 (f) 是一个可行流。

容量限制：流经边的流量小于等于边的容量，即：

[0 le f(u,v) le c(u,v) ]

流量守恒：除了源点汇点之外其他点不能存储流量。也就是说，流入的流量之和应该等于流出的流量之和，即：

[sum_{vin V}f(u,v)=sum_{vin V}f(v,u) ]

我们完全不用考虑反向边。

对于一个可行流 (f) ，(|f|) 代表这个可行流的流量值，表示流从源点流向汇点的速率。我们定义:

[|f|=sum_{(s,v)in E}f(s,v)-sum_{(v,s)in E} f(v,s) ]

就是单位时间内从源点流出的总流量减去从源点流入的总流量。

最大流

最大流，也叫最大可行流，一个流 (f) 是最大流当且仅当 (|f|) 最大。

残留网络

定义一个有向图 (G<V,E,W>) 对应一个可行流 (f) 的残留网络 (G_f<V_f,E_f,W_f>) ，其 (V_f=V , E_f=E+{(u,v)|(v,u)in E})，其每条边的容量 (c^{prime}(u,v)) 与原图及对应可行流 (f) 的关系如下：

[c^{prime}(u,v)= egin{cases} c(u,v)-f(u,v) &,&(u,v)in E\ \ f(v,u) &,&(v,u)in E end{cases} ]

可以看出，对于原网络的任意一个可行流都可以建立一个残留网络。

上图示：(红色为可行流，蓝色为容量)

这个网络的残留网络应为：(红色为反向边及其权值，蓝色为原图有的边及其权值)

残留网络的性质

• 若 (f) 为图 (G) 的一个可行流，(f^{prime}) 是其残留网络的一个可行流，则 (f)+(f^{prime}) 也是图 (G) 的一个可行流。

  定义这里的流量相加的规则为：(|f+f^{prime}|=sum_{(u,v)in E}f(u,v)+f^{prime}(u,v)-f^{prime}(v,u)=|f|+|f^{prime}|)。

  证明暂略。

• 推论：若对于图 (G) 的一个可行流 (f) ，其残留网络 (G_f) 中存在一个可行流 (f^{prime}) ，其 (|f^{prime}| > 0) 则 (f) 一定不是最大流。逆命题仍然成立。

  证明暂略。

增广路径

在残留网络里面，从源点开始沿容量大于0的边走到汇点的简单路径称为增广路径，也叫流增广路径。

增广路径一定是原网络的一个可行流。

性质

• 对于图 (G) 的一个可行流 (f)，若 (f) 的残留网络 (G_f) 中没有增广路径，则 (f) 是图 (G) 的一个最大流。

割

有向图 (G) 的割为点集 (V) 的一个划分方案 (<S,T>) 使得 (Scap T=varnothing,Scup T=V)。

割的容量

一个割 (<S,T>) 的容量 (C(S,T)) 为

[C(S,T) = sum_{uin S}sum_{vin T} c(u,v) ]

最小割指的一般是最小容量割。

割的流量

一个割 (<S,T>) 在可行流 (f) 下的流量 (F(S,T)) 为

[F(S,T)=sum_{uin S}sum_{vin T}f(u,v)-sum_{uin T}sum_{vin S}f(u,v) ]

运算方式

接下来定义点集子集(不一定没有交集)之间的流量运算方式

对于点集 (X,Ysubsetneq V)

[F(X,Y)=sum_{uin X}sum_{vin Y}f(u,v)-sum_{uin Y}sum_{vin X}f(u,v) ]

推出如下运算律：

(F(X,Y)=-F(Y,X))

(F(X,X)=0)

(F(Z,Xcup Y)=F(Z,X)+F(Z,Y))

(F(Xcup Y,Z)=F(X,Z)+F(Y,Z))

性质

1. 对于任意割 (<S,T>) ，其流量一定小于等于容量。

   定义式相加易得。

2. 对于割 (<S,T>)，其对应的可行流的值 (|f|=F(S,T))。

   由流量守恒原则易得。

3. 对于任意一个 (f) ，有 (|f|le C(S,T)) 对任意割成立。

   推论：最大流流量小于等于最小割容量

最大流最小割定理

对于一个网络 (G) ，一个流 (f) 是最大流 (^①) ，等价于 (G) 的残留网络 (G_f) 中没有增广路 (^②)，等价于存在一个割 (<S,T>) 使得 (|f|=C(S,T)^③) 。

证明：

[egin{aligned} ①Rightarrow②:& 设f是图G的最大流\ &假设残留网络G_f存在增广路|f^{prime}|>0\ &ecause f+f^{prime}一定为可行流and |f+f^{prime}|>f\ & herefore 假设不成立\ &故原命题成立\ end{aligned}\ \ egin{aligned} ②Rightarrow③:& 定义S为在G_f中从s开始沿着容量大于0的边走左右能走到的点。\ &可以知道，由于G_f没有增广路，所以t otin S\ &令：T=V-S(V为整个图所有点的点集)\ &则<S,T>是一个合法的割。\ &任取xin S， yin T\ &ecause G_f没有增广路\ & herefore f(x,y)=c(x,y)当(x,y)in E\ &quad f(y,x)=0,当(y,x)in E\ &ecause |f|=F(S,T)=sum_{uin S}sum_{vin T}f(u,v)-sum_{uin S}sum_{vin T} f(v,u)\ & herefore |f|=sum_{uin S}sum_{vin T}c(u,v)=C(S,T) end{aligned}\ \ egin{aligned} ③Rightarrow①:& 设f为图G的可行流，f_{max} 为图G的最大流。\ & herefore |f|le |f_{max}|\ &ecause |f|=C(S,T)\ &又ecause C(S,T)ge |f_{max}|\ & herefore f=f_{max}\ \ end{aligned}\ 综上，①Leftrightarrow ②Leftrightarrow ③,Q.A.D ]

FF方法

基于最大流最小割定理，我们可以得到如下方法求解最大流。

1. 输入一个网络 (G)
2. 确定一个可行流 (f)，为当前可行流
3. 在其残留网络(G_f)中寻找增广路径 (f^{prime})。
4. 更新当前可行流为 (f+f^{prime})
5. 转3，若找不到增广路，输出当前可行流。