问题一:
一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1]....,A[n-2],A[n-1]),求子数组之和的最大值是什么?
方法一:动态规划
问题描述符合动态规划最优子结构的要求。
设b[i]表示以a[i]结尾 的子数组的最大子段和(a[i]一定包含在b[i]中,即:
b[i]=max{sum(a[j~i])},其中0<=j<=i 因此对于数组a[0~n]的最大字段和为max{b[i]},(0<=i<n)。(也就是计算到底以哪个元素结尾的子数组才是最优解
sum为子问题的最优解,引入A[i]后,要考虑是否包含A[i],对于包含A[i]的情况即求b[i],因为要求是连续的子数组,所以要考虑是不是包含b[i-1]. b[i] =Max{b[i-1]+A[i], A[i]}。所以问题变成:A[0]~A[i]的最优解为Max{sum, b[i]} => Max{sum, Max{a[i], b[i-1]+a[i]}}
1. 包含a[i],即求b[i]的最大值,在计算b[i]时,可以考虑以下两种情况,因为a[i]要求一定包含在内,所以
1) 当b[i-1]>0, b[i] = b[i-1]+a[i]
2) 当b[i-1]<=0, b[i] = a[i], 当b[i-1]<=0,这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。
2. 不包含a[i],即a[0]~a[i-1]的最大值(即0~i-1局部问题的最优解),设为sum
最后比较b[i]和 sum(0~i-1)(b[0~i-1]中最大的一个)即,如果b[i] >sum ,即b[i]为最优解,然后更新sum的值.
在实现时,bMax代表 b[k], sum更新前代表前一步子问题的最优解,更新后代表当前问题的最优解。实现如下:
// 求数组的子数组之和的最大值. public static int GetMaxSubArrayValue(int[] array, out int start, out int end) { int s, e; start =end = s = e = 0; int sum= array[0]; int bMax = array[0]; for (int i = 1; i < array.Length; i++) { if (bMax < 0) { //情况一。 b[i] = a[i],当b[i-1]<=0,这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。 bMax = array[i]; s = e = i; } else //情况二 b[i] = b[i-1]+a[i],当b[i-1]>0时,这时候的b[i]中包含a[i]。 { bMax += array[i]; e = i; } // 情况三。不包含a[i]的情况,即a[0]~a[i-1]的最大值,设为sum.这种情况在计算b[i]之前已经计算处结果,保存在b[0~i-1]中。最后计算max{b[i]}时会考虑到。 if (bMax > sum) //b[i]和 sum(0~i-1)(b[0~i-1]中最大的一个)即,看下哪个值更大,即为最优解,然后更新sum的值. { sum = bMax; start = s; end = e; } } return sum; }
问题二:
一个有N个整数元素的一维数组(A[0],A[1]....,A[n-2],A[n-1]),求子数组之和的最小值是什么
问题描述符合动态规划最优子结构的要求。
设b[i]表示以a[i]结尾 的子数组的最小子段和(a[i]一定包含在b[i]中,即:
b[i]=min{sum(a[j~i])},其中0<=j<=i 因此对于数组a[0~n]的最小字段和为min{b[i]},(0<=i<n)。(也就是计算到底以哪个元素结尾的子数组才是最优解
// 求数组的子数组之和的最小值. public static int GetMinSubArrayValue(int[] array, out int start, out int end) { int s, e; start = end = s = e = 0; int sum = array[0]; int bMin = array[0]; for (int i = 1; i < array.Length; i++) { if (bMin > 0) { ///情况一。 b[i] = a[i],当b[i-1] > 0,这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。 bMin = array[i]; s = e = i; } else ///情况二。 b[i] = b[i-1]+a[i],当b[i-1]<0时,这时候的b[i]中包含a[i]。 { bMin += array[i]; e = i; } // 情况三。 不包含a[i]的情况,即a[0]~a[i-1]的最小值,设为sum.这种情况在计算b[i]之前已经计算处结果,保存在b[0~i-1]中。最后计算min{b[i]}时会考虑到。 if (bMin < sum) //b[i]和 sum(0~i-1)(b[0~i-1]中最大的一个)即,看下哪个值更小,即为最优解,然后更新sum的值. { sum = bMin; start = s; end = e; } } return sum; }