我之前写了 《用 无穷级数 的 思路 三等分角》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/14604497.html
《三等分角 化圆为方 可以 考虑 用 无穷级数 的 方式 来 实现》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12369587.html 。
前几天 和 反相吧 网友 思维机器 和 jmctian 交流了一下， 之后 逐渐 形成了 这篇文章 的 想法 。
三等分角 可以 这样 考虑，
如图， CP 与 OB 垂直， 相交于 P 。
设 ∠ COB = 1/3 * ∠ AOB ， 设 θ = ∠ COB ， 则 θ = 1/3 * ∠ AOB 。
可知 OA = OC = r， 设 r = 1， 则 AH = sin ∠ AOB， OP = cos θ ， 求出 cos θ 知道 OP 的 长度， 就可以 作出 OP， 过 P 作 垂线 交 圆弧 于 C ， 就知道了 ∠ COB ， 也就是 把 ∠ AOB 三等分 了 。
根据 三角和角公式，
sin 2θ = sin θ cos θ + cos θ sin θ
= 2 sin θ cos θ
cos 2θ = cos θ cos θ - sin θ sin θ
= ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ²
sin 3θ = sin ( 2θ + θ )
= sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ
= 2 sin θ cos θ cos θ + [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ ( cos θ ) ² + [ ( cos θ ) ² - 1 + ( cos θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ ( cos θ ) ² + [ 2 ( cos θ ) ² - 1 ] sin θ
= sin θ [ 2 ( cos θ ) ² + 2 ( cos θ ) ² - 1 ]
= 根号 [ 1 - ( cos θ ) ² ] * [ 4 ( cos θ ) ² - 1 ]
两边平方，
( sin 3θ ) ² = [ 1 - ( cos θ ) ² ] * [ 4 ( cos θ ) ² - 1 ] ²
( sin 3θ ) ² = [ 1 - ( cos θ ) ² ] * [ 16 ( cos θ ) ⁴ - 8 ( cos θ ) ² + 1 ]
( sin 3θ ) ² = 16 ( cos θ ) ⁴ - 8 ( cos θ ) ² + 1 - 16 ( cos θ ) ⁶ + 8 ( cos θ ) ⁴ - ( cos θ ) ²
( sin 3θ ) ² = - 16 ( cos θ ) ⁶ + 24 ( cos θ ) ⁴ - 9 ( cos θ ) ² + 1
因为 θ = 1/3 * ∠ AOB ， ∠ AOB = 3θ ，
( sin ∠ AOB ) ² = - 16 ( cos θ ) ⁶ + 24 ( cos θ ) ⁴ - 9 ( cos θ ) ² + 1
因为 AH = sin ∠ AOB ， OP = cos θ
AH ² = - 16 ( cos θ ) ⁶ + 24 ( cos θ ) ⁴ - 9 ( cos θ ) ² + 1
AH ² = - 16 OP ⁶ + 24 OP ⁴ - 9 OP ² + 1
AH 为 已知量 、常量， OP 是 未知数， 用 x 表示， x = OP ，
- 16 x ⁶ + 24 x ⁴ - 9 x ² = AH ² - 1
这是一个 一元六次方程， 接下来， 我们可以说 ： 因为 一元六次方程 的 根 是 超越数， 尺规作图 不能 求得 超越数， 所以， 尺规作图 不能 求得 OP， 尺规作图 不能 作出 三等分角 ！
但， 这只是 否定了 这种做法， 并没有 排除 其它 各种方法 无限 的 可能性 啊 啊 啊 ？
如果 以 sin θ 为 未知数， 方程 会 更简单 ，
sin 3θ = sin ( 2θ + θ )
= sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ
= 2 sin θ cos θ cos θ + [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ ( cos θ ) ² + [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ [ 1 - ( sin θ ) ² ] + [ 1 - ( sin θ ) ² - ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ [ 1 - ( sin θ ) ² ] + [ 1 - 2 ( sin θ ) ² ] sin θ
= 2 sin θ - 2 ( sin θ ) ³ + sin θ - 2 ( sin θ ) ³
= 3 sin θ - 4 ( sin θ ) ³
sin 3θ = 3 sin θ - 4 ( sin θ ) ³
因为 θ = ∠ COB ， 3θ = ∠ AOB ， sin θ = CP， sin ∠ AOB = AH ，
sin ∠ AOB = 3 sin θ - 4 ( sin θ ) ³
AH = 3 CP - 4 CP ³
AH 为 已知量， 常量 ， CP 是 未知数，用 x 表示， x = CP，
- 4 x ³ + 3 x = AH
这是一个 三次方程， 三次方程 的 根 是 代数数， 不是 超越数， 但 要 开三次方， 可能 开三次方 之后 再 开平方， 于是， 我们 又开始 嚷嚷 着 ： 尺规作图 不能 求得 三次方程 的 根， 所以， 尺规作图 不能 求得 CP， 尺规作图 不能 作出 三等分角 ！
不过 就算 求得了 CP， 即 知道了 CP 的 长度， 也 不好 作出 CP， 要做一条 垂线 垂直于 OB， 与 OB 相交于 P， 与 圆弧 相交于 C， CP 的 长度 要刚好 等于 指定 的 长度， 这个不好作 。
不过 也可以 试试 这样作， 因为 ( sin θ ) ² + ( cos θ) ² = 1 ， 也就是 正弦 和 余弦 是 直角三角形 的 两条 直角边， 我们 可以 根据 CP 来 作出 OP， 就是说， 根据 CP 求出 OP 的 长度 。
作一条线段 MN ， 长度 为 r， 以 N 为 圆心， CP 为 半径， 在 MN 的 一侧 画一个 半圆， 过 M 点 作 直线 与 半圆 相切 于 Q 点， 则 MQ 和 NQ 垂直， MNQ 组成一个 直角三角形， NQ 的 长度 等于 CP， MQ 的 长度 等于 OP 。
这样 就 由 CP 的 长度 求出 了 OP 的 长度， 在 圆 O 上 作出 OP， 就知道了 CP 和 ∠ COB 。
但 问题 是， 过 圆 外 一点 作 圆 的 切线， 这个 操作 是否 是 尺规作图 的 操作 ？ 这个 操作 也 有点 “超越” 和 “非线性” 呢 。
其实 可以 根据 OH 来 求 OP， 这样 方程 也是 三次方程， OH 就是 cos ∠ AOB 。
cos 3θ = cos ( 2θ + θ )
= cos 2θ cos θ - sin 2θ sin θ
= [ ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ² ] cos θ - 2 sin θ cos θ sin θ
= ( cos θ ) ³ - ( sin θ ) ² cos θ - 2 ( sin θ ) ² cos θ
= ( cos θ ) ³ - 3 ( sin θ ) ² cos θ
= ( cos θ ) ³ - 3 [ 1 - ( cos θ ) ² ] cos θ
= ( cos θ ) ³ - 3 cos θ + 3 ( cos θ ) ³
= 4 ( cos θ ) ³ - 3 cos θ
cos 3θ = 4 ( cos θ ) ³ - 3 cos θ
因为 θ = ∠ COB ， 3θ = ∠ AOB ， cos θ = OP， cos ∠ AOB = OH ，
cos ∠ AOB = 4 ( cos θ ) ³ - 3 cos θ
OH = 4 OP ³ - 3 OP
OH 为 已知量， 常量 ， OP 是 未知数， 用 x 表示， x = OP，
4 x ³ - 3 x = OH
这也是 一个 三次方程 。
在 尺规作图 里， 知道了 弦， 就知道了 角 和 弧， 知道了 角（弧）， 就知道了 弦， 比如， 知道了 OP， 就知道了 ∠ COB 和 弧 CB ， 反之亦然 。 这是 尺规作图 的 设定 。
在 尺规作图 的 世界 里， 给出 一个 角（弧）， 就知道 它 对应 的 弦， 但 并不知道 弦 的 数值 。
在 具体 的 数值 上， 在 实数 的 世界 里， 弦 和 角（弧） 的 关系 是 超越数 的 ， 由 角（弧） 求 弦 是 超越数， 由 弦 求 角（弧） 也是 超越数， 但 尺规作图 不用考虑 这个 。
可以试试 把 反三角函数 展开为 泰勒级数， 大概 想了一下， 好像能行， 没具体试过 。
也可知， 4 x ³ - 3 x = OH , OH ∈ [ 0, 1 ] 这一类 三次方程 的 根 可以 表示 为 x = OP = cos ( 1/3 * arc cos OH ) ， 就是 反余弦 之后 再求 余弦， 反余弦 是 一个 泰勒级数， 余弦 又 是 一个 泰勒级数， 那 OP 就可以 表示为 2 个 泰勒级数 的 嵌套， 这比起 三次方程 根号 嵌套 根号 的 求根公式， 会不会 更 简单一些， 不知道， 呵呵 。 而且 这个 OP 也只是 三次方程 的 一个 根， 可能 还有 两个 根 。
来 看看 二等分角，
同样， 根据 三角和角公式，
cos 2θ = ( cos θ ) ² - ( sin θ ) ²
= ( cos θ ) ² - 1 + ( cos θ ) ²
= 2 ( cos θ ) ² - 1
设 ∠ COB = 1/2 * ∠ AOB ， 则
cos ∠ AOB = 2 ( cos ∠ COB ) ² - 1
因为 r = 1， cos ∠ AOB = OH， cos ∠ COB = OP ，
OH = 2 OP ² - 1
OH 为 已知量， 常量， OP 为 未知数， 用 x 表示， x = OP，
2 x ² - 1 = OH
这是一个 一元二次方程 ， 它 的 根 是
x = 根号 [ ( OH + 1 ) / 2 ]
x = - 根号 [ ( OH + 1 ) / 2 ]
我们 取 正根， OP = x = 根号 [ ( OH + 1 ) / 2 ] ， 这样 就 知道了 OP 的 长度， 作出 OP 就知道了 ∠ COB 。
问题 是 尺规作图 能 作出 长度 为 r 的 根号 [ ( OH + 1 ) / 2 ] 倍 的 线段 吗 ？
我们 用 尺规作图 作 二等分角 并不会 去 求 这个 一元二次方程 的 根 ， 啊 ？
证明 尺规作图 能否 实现 三等分角， 可以 从 两方面 来看 ：
1 曲线法 ， 比如 用 阿基米德螺线 、渐开线 来 作 三等分角， 或者 渝中寿人 老师 的 正弦曲线 描点法， 就是 用 描点法 作出 正弦曲线， 有了 正弦曲线， 就很容易 三等分角 。
2 多边形法， 就是 上文 用 和角公式 把 三等分角 问题 转变为 三角形 的 边长问题， 边长问题 表示为 代数方程 。 这里 的 多边形 主要 指 三角形 。
实际上， 曲线法 已经 超出了 尺规作图 的 规则， 不算是 尺规作图， 但 可以 从 曲线法 看到 尺规作图 的 特点 ： 只能 画 直线 和 圆弧， 还有 对称性， 不能 画 圆弧 以外 的 其它 曲线，也不能 用 有限次 的 操作 截取 和 一段 曲线 长度 相等 的 线段 。 曲线 包括 圆弧 和 其它 曲线 。
多边形法 本质上 是 相似三角形 和 勾股定理， 勾股定理 最终 也是 相似三角形 。
但 不管 怎么看， 你 还是 不能 排除 无限 的 做法 的 无限 的 可能性 啊 ？
补充 ：
过 圆外 一点 作 圆 的 切线 不好作， 但 已知 直角三角形 的 斜边 和 一条 直角边 求 另一条 直角边 还是 可以 作 的 ：
作 两条 直线 垂直相交 于 Q 点， 以 Q 点 为 圆心， 已知 的 直角边 长 为 半径， 画 圆弧 和 一条直线 相交于 N， 以 N 为 圆心， 斜边 为 半径， 画 圆弧 和 另一条直线 相交于 M 点， MNQ 组成 一个 直角三角形 ， MQ 就是 要求 的 直角边 。