题意：给你一个分数，求它在二进制下的循环节的长度，还有第一个循环节从哪一位开始。
For example, x = 1/10 = 0.0001100110011(00110011)w and 0001100110011 is a preperiod and 00110011 is a period of 1/10.
思路一：
我们可以观察一下1/10这组数据，按照二进制转换法(乘二法)，我们可以得到：
1/10 2/10 4/10 8/10 16/10 32/10 ...
然后都分子都尽可能减去10，得到：
1/10 2/10 4/10 8/10 6/10 2/10 ...
这时候，发现出现了重复，那么这个重复就是我们要求的最小循环。
抽象出模型如下：对p/q
首先p'=p/gcd(p,q)
q'=q/gcd(p,q);
然后我们就是求p'*2^i == p'*2^j (mod q') (“==”表示同余,i<j)
经过变换得到：
p'*2^i*(2^(j-i)-1) ==0 (mod q')
也就是 q' | p'*2^i*(2^(j-i)-1)
由于gcd(p',q')=1,
得到： q' | 2^i*(2^(j-i)-1)
因为2^(j-i)-1为奇数，所以q'有多少个2的幂，i就是多少，而且i就是循环开始位置的前一位。
那么令q''为q'除去2的幂之后的数
此时 q'' | 2^(j-i)-1
也就是求出x,使得 2^x ==1 (mod q'')
就是求p*(2^i) == p*(2^j) (mod q)，除过来就是2^(i-j)==1（mod q）
思路二：转自http://www.cnblogs.com/Konjakmoyu/p/5183339.html
实现方法：
方法一： 直接BSGS
求2^x==1（mod n），就先消因子，然后在BSGS求解。
过程中如果b%d！=0，那就说明在x>=T时无解。
方法二：欧拉定理
先消因子，则2与n互质。
求2^x==1(mod n)，根据欧拉定理2^phi(n)==1(%n)，然后找phi(n)的质因子k。
从小到大枚举质因子k，判断2^k==1(%n)则的得到答案。
代码
BSGS的：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<cmath> 6 #include<algorithm> 7 using namespace std; 8 9 typedef long long LL; 10 const LL N=40000; 11 LL pl,bl; 12 LL p[N]; 13 bool vis[N]; 14 struct node{ 15 LL d,id; 16 }bit[N]; 17 18 bool cmp(node x,node y){ 19 if(x.d==y.d) return x.id<y.id; 20 return x.d<y.d; 21 } 22 23 LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) 24 { 25 if(b==0) {x=1,y=0;return a;} 26 LL tx,ty; 27 LL d=exgcd(b,a%b,tx,ty); 28 x=ty;y=tx-(a/b)*ty; 29 return d; 30 } 31 32 LL find(LL x) 33 { 34 int l=1,r=bl; 35 while(l<=r) 36 { 37 int mid=(l+r)>>1; 38 if(bit[mid].d==x) return bit[mid].id; 39 if(bit[mid].d<x) l=mid+1; 40 if(bit[mid].d>x) r=mid-1; 41 } 42 return -1; 43 } 44 45 void exBSGS(LL b,LL &xx,LL &yy) 46 { 47 LL t,m,g,x,y,pm,am; 48 while(b%2==0) {b/=2;xx++;} 49 t=2; 50 for(int i=1;i<=100;i++) 51 { 52 if(t%b==1) {yy=i;return ;} 53 t=t*2%b; 54 } 55 m=(LL)(ceil((double)sqrt((double)b))); 56 pm=1%b;bit[0].d=1%b;bit[0].id=0; 57 for(int i=1;i<=m;i++) 58 { 59 bit[i].d=bit[i-1].d*2%b; 60 bit[i].id=i; 61 pm=pm*2%b; 62 } 63 sort(bit+1,bit+1+m,cmp); 64 bl=1; 65 for(int i=2;i<=m;i++) 66 { 67 if(bit[i].d!=bit[bl].d) bit[++bl]=bit[i]; 68 } 69 exgcd(pm,b,x,y); 70 am=x%b+b; 71 t=1%b; 72 for(int i=0;i<=m;i++) 73 { 74 x=find(t); 75 if(x!=-1) {yy=i*m+x;return ;} 76 t=t*am%b; 77 } 78 return ; 79 } 80 81 int main() 82 { 83 freopen("a.in","r",stdin); 84 freopen("b.out","w",stdout); 85 LL T=0,a,b; 86 char c; 87 while(scanf("%I64d%c%I64d",&a,&c,&b)!=EOF) 88 { 89 LL x,y; 90 LL g=exgcd(a,b,x,y); 91 a/=g,b/=g; 92 x=1,y=-1; 93 exBSGS(b,x,y); 94 printf("Case #%I64d: %I64d,%I64d ",++T,x,y); 95 } 96 return 0; 97 }
欧拉定理的：
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<iostream> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; const LL Max=(LL)1e6; const LL N=Max+100; LL fl; LL f[N]; LL gcd(LL a,LL b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } bool cmp(int x,int y){return x<y;} LL eular(LL x) { LL ans=x; for(int i=2;i*i<=x;i++) { if(x%i==0) ans/=i,ans=ans*(i-1); while(x%i==0) x/=i; } if(x>1) ans/=x,ans=ans*(x-1); return ans; } LL quickpow(LL a,LL b,LL mod) { LL ans=1%mod; while(b) { if(b&1) ans=ans*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return ans; } void solve(LL b,LL &xx,LL &yy) { LL k=2,x=b,ans=x; while(b%2==0) xx++,b/=2; LL phi=eular(b); for(int i=1;i*i<=phi;i++) { if(phi%i==0) f[++fl]=i,f[++fl]=phi/i; } sort(f+1,f+1+fl,cmp); for(int i=1;i<=fl;i++) { if(quickpow(2,f[i],b)==1) {yy=f[i];return ;} } } int main() { freopen("a.in","r",stdin); freopen("a.out","w",stdout); LL T=0,a,b; char c; while(scanf("%I64d%c%I64d",&a,&c,&b)!=EOF) { LL x=1,y=0; LL g=gcd(a,b); a/=g,b/=g; solve(b,x,y); printf("Case #%I64d: %I64d,%I64d ",++T,x,y); } return 0; }