exgcd

作用

求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一个解 \(x,y\)

裴蜀定理

又叫贝祖定理

设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\) , 使得 \(ax+by=\gcd(a,b)\)

证明：通过解法可以证明

解法

\[\begin{aligned} ax+by &= \gcd(a,b) \\ ax+by &= \gcd(b,a\mod b) \\ bx+(a\mod b)y &= \gcd(b,a\mod b) \\ bx+(a-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times b) &= \gcd(b,a\mod b) \\ bx+ay-(\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times b)y &= \gcd(b,a\mod b) \\ ay+(x-\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor\times y)b &= \gcd(b,a\mod b) \end{aligned} \]

当 \(b=0\) 时， \(x=1,y=0\)，因此可以递归求解。

而且肯定有一组解

同理 \(ax+by=c,\gcd(a,b)|c\) 时也是有解的

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if(!b)return x=1,y=0,a;
	register int tmp=exgcd(b,a%b,x,y),z=x;
	return x=y,y=z-a/b*y,tmp;
} 

当然上面这种方法是可以简单一点的

交换操作可以在传参时解决

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) {
	if(!b)return x=1,y=0,a;
	register int tmp=exgcd(b,a%b,y,x);
	return y-=a/b*x,tmp;
} 

解线性同余方程

线性同余方程：形如 \(ax\equiv c\pmod b\) 的同余方程

两个定理

1. 对于方程 \(ax+by=c,\gcd(a,b)|c\) 则该方程等价于 \(ax\equiv c\pmod b\)

   也就是说，解到一个解 \(ax_0+by_0=\gcd(a,b)\) ，两边同时除以 \(\gcd(a,b)\) ，再乘 \(c\) 就找到了方程的一个解

   \(\dfrac{a\cdot c\cdot x_0}{\gcd(a,b)}+\dfrac{b\cdot c\cdot y_0}{\gcd(a,b)}=c\)

2. 若 \(\gcd(a,b)=1\) 且 \(ax_0+by_0=c\) ，则该方程的任意一组解为 \(x=x_0+b*t,y=y_0-a*t\) ，其中 \(t\) 为任意整数

   根据定理 2 ，可以求出方程的最小整数解 \(x\) ， \(t=\dfrac{b}{\gcd(a,b)},x=(x\%t+t)\%t\)

例

SDOI 2011 计算器

对于操作 2，选用 exgcd 求解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline LL Pow(LL x,LL y,LL p) {
	register LL res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(x*x)%p)
	if(y&1)res=(res*x)%p;
	return res;
}
LL exgcd(LL p,LL q,LL &x,LL &y) {
	if(!q)return x=1,y=0,p;
	register LL gcd=exgcd(q,p%q,y,x);
	return y-=p/q*x,gcd;
}
const int Su=100007;
struct HASH {
	int cnt,lst[Su],nxt[Su],id[Su];
	LL vl[Su];
	inline void Clear() { memset(lst,0,sizeof(lst)),cnt=0; }
	inline void Ins(LL x,int p) {
		vl[++cnt]=x,id[cnt]=p,x%=Su;
		nxt[cnt]=lst[x],lst[x]=cnt;
	}
	inline int Find(LL x) {
		for(int i=lst[x%Su];i;i=nxt[i])
			if(vl[i]==x)return id[i];
		return -1;
	}
}hs;
inline LL BSGS(LL x,LL y,LL p) {
	if(x%p==0)return -1;
	x%=p,y%=p;
	if(y==1)return 0;
    register int z=sqrt(p)+1;
    register LL sx=y,sy;
    hs.Clear();
    for(int i=0;i<z;++i,sx=sx*x%p)
		hs.Ins(sx,i);
    sy=Pow(x,z,p),sx=1;
    for(int i=1,k;i<=z;++i) {
    	sx=sx*sy%p,k=hs.Find(sx);
    	if(k!=-1)return 1LL*i*z-1LL*k;
	}
    return -1;
}
int T,K;
int main() {
	scanf("%d%d",&T,&K);
	for(LL x,y,p,tmp,u,v;T--;) {
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&p);
		if(K==1)printf("%lld\n",Pow(x,y,p));
		else if(K==2) {
			tmp=exgcd(x,p,u,v);
			if(y%tmp)puts("Orz, I cannot find x!");
			else u*=y/tmp,v=p/tmp,printf("%lld\n",(u%v+v)%v);
		} else {
			tmp=BSGS(x%p,y%p,p);
			if(tmp<0)puts("Orz, I cannot find x!");
			else printf("%lld\n",tmp);
		}
	}
}