【BZOJ 2822】2822: [AHOI2012]树屋阶梯（卡特兰数+高精度）

2822: [AHOI2012]树屋阶梯

Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为N+1尺（N为正整数）的大树上，正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图1.1），经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是1尺的整数倍，教官命令队员们每人选取N个空心钢材来搭建一个总高度为N尺的阶梯来进入树屋，该阶梯每一步台阶的高度为1尺，宽度也为1尺。如果这些钢材有各种尺寸，且每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空，钢材空心的一面绝对不可以向上。）

   以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

   搭建方法：

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

Source

【分析】

　　这个卡特兰数的模型很经典吧，我之前的总结里面也应该有的。

　　看图显然卡特兰数。高精度。用分解质因数的方法，就是高精乘低精而已。

　　然后简单说说为什么是卡特兰数？

　　看下面那个很丑的图，编号的那些格子是角落的，很明显是两两不能处于同一块木板的。

　　就是说这7个格子正好处在7块不同的木板上。（你刚好要用7块木板）

　　然后？的一定在某一块模板上。比如跟4一个木板，第二个图，就变成两个3阶梯的子问题。

　　如果跟6一个板，就变成一个5阶梯和一个1阶梯的子问题。
　　就是f[n]=f[0]*f[n-1]+f[1]*f[n-2]+...f[n-1]*f[0]

　　这个是卡特兰数的一种定义。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstring>
 4 #include<iostream>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 #define Maxn 510
 8 #define Maxm 2010
 9 
10 int num[Maxn*2];
11 
12 void add(int x,int c)
13 {
14     for(int i=2;i*i<=x;i++) if(x%i==0)
15     {
16         while(x%i==0) num[i]+=c,x/=i;
17     }
18     if(x!=1) num[x]+=c;
19 }
20 
21 int ans[Maxm],ll;
22 
23 void mul(int x)
24 {
25     for(int i=1;i<=ll;i++) ans[i]*=x;
26     for(int i=1;i<=ll;i++)
27     {
28         ans[i+1]+=ans[i]/10;
29         ans[i]%=10;
30     }
31     while(ans[ll+1]!=0)
32     {
33         ans[ll+2]+=ans[ll+1]/10;
34         ans[ll+1]%=10;
35         ll++;
36     }
37 }
38 
39 int main()
40 {
41     int n;
42     scanf("%d",&n);
43     memset(num,0,sizeof(num));
44     for(int i=n+1;i<=2*n;i++) add(i,1);
45     for(int i=1;i<=n+1;i++) add(i,-1);
46     memset(ans,0,sizeof(ans));
47     ans[1]=1;ll=1;
48     for(int i=1;i<=2*n;i++) if(num[i])
49     {
50         while(num[i]>0) mul(i),num[i]--;
51     }
52     for(int i=ll;i>=1;i--) printf("%d",ans[i]);printf("
");
53     return 0;
54 }

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2017-03-23 16:11:36