【BZOJ 4503】4503: 两个串 （FFT）

4503: 两个串

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Description

兔子们在玩两个串的游戏。给定两个字符串S和T，兔子们想知道T在S中出现了几次，

分别在哪些位置出现。注意T中可能有“?”字符，这个字符可以匹配任何字符。

Input

两行两个字符串，分别代表S和T

Output

第一行一个正整数k，表示T在S中出现了几次

接下来k行正整数，分别代表T每次在S中出现的开始位置。按照从小到大的顺序输出，S下标从0开始。

Sample Input

bbabaababaaaaabaaaaaaaabaaabbbabaaabbabaabbbbabbbbbbabbaabbbababababbbbbbaaabaaabbbbbaabbbaabbbbabab
a?aba?abba

Sample Output

0

HINT

S 长度不超过 10^5， T 长度不会超过 S。 S 中只包含小写字母， T中只包含小写字母和“?”

Source

【分析】

　　这题做了我好久啊。。幸好1A，哭死了。。

　　首先，是不可以用KMP的，【我一开始还觉得可以】

　　因为你根据第二个串求next可能会以'？'为媒介，认为'a'与'b'相同什么的。

　　小山羊说，大多数含'?'的字符串的题目都不可以用KMP,EXKMP,AC自动机，后缀数组等等字符串匹配方法，就会出现上面说的问题。不过我觉得如果这题的'?'是在第一个串上的话，应该是可以用的。

　　所以怎么办呢？FFT大法。

　　很容易想到一个方法就是类似‘万径人踪灭’那里的。做26次FFT，每次把一个字母标为1，其他标为0，看一看匹配长度是否为m，但是会超时？【并没有实测过

　　不过这题只是问你能否完全匹配，并没有问你匹配多少个字符之类的。

　　所以可以构造这么一个函数。设$a[i]=s[i]=='?'?0:a[i]-'a'+1$。

　　则$ans[i+j]=(a[i]-b[j])^{2}*b[j]$

　　当且仅当全部匹配，ans为0，后面乘a[j]是搞'?'的。

　　这个也很显然吧。

　　但是！！！注意这个式子啊，不能把a，b化成点值表示就直接乘，否则意义就会变成

　　$ans[i+i+j]+=a[i]^{2}*a[j]; ans[j+j+j]+=a[j]^{3}; ans[i+j+j]+=-2*a[i]*a[j]^{2}$意义完全不对。

　　我还是理解了好久才发现这个错啊，以后不能再错这个了！！！

　　所以你要分几次搞，令$A[i]=a[i]^2$，$B[i]=b[i]^2$，$C[i]=1$，$D[i]=b[i]^{3}$

　　则$ans=A*b+C*D-2*a*B$

　　FFT加速即可【为什么我跑得那么慢并且代码那么丑？

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 100010*4
const double pi=acos(-1);

char s1[Maxn],s2[Maxn];
int aa[Maxn],bb[Maxn];

struct P
{
    double x,y;
    P() {x=y=0;}
    P(double x,double y):x(x),y(y){}
    friend P operator + (P x,P y) {return P(x.x+y.x,x.y+y.y);}
    friend P operator - (P x,P y) {return P(x.x-y.x,x.y-y.y);}
    friend P operator * (P x,P y) {return P(x.x*y.x-x.y*y.y,x.x*y.y+x.y*y.x);}
    friend P operator * (P x,int y) {return P(x.x*y,x.y*y);}
}a[Maxn],b[Maxn];

int nn,R[Maxn],op[Maxn],ans[Maxn];
void fft(P *s,int f)
{
    for(int i=0;i<nn;i++) if(i<R[i]) swap(s[i],s[R[i]]);
    for(int i=1;i<nn;i<<=1)
    {
        P wn(cos(pi/i),f*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<nn;j+=i<<1)
        {
            P w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn)
            {
                P x=s[j+k],y=w*s[j+k+i];
                s[j+k]=x+y;s[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        for(int i=0;i<=nn;i++) s[i].x=s[i].x/nn;
    }
}

int main()
{
    scanf("%s%s",s1,s2);
    int n=strlen(s1),m=strlen(s2);
    n--;m--;
    for(int i=0;i<=n;i++) aa[i]=s1[i]=='?'?0:(s1[i]-'a'+1);
    for(int i=0;i<=m;i++) bb[m-i]=s2[i]=='?'?0:(s2[i]-'a'+1);
    int ll=0;nn=1;
    while(nn<=n+m) ll++,nn<<=1;
    for(int i=0;i<nn;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(ll-1));
    
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i].x=aa[i]*aa[i];
    for(int i=0;i<=m;i++) b[i].x=bb[i];
    fft(a,1);fft(b,1);
    for(int i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    for(int i=0;i<=n+m;i++) ans[i]+=(int)(a[i].x+0.5);
    // for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",ans[i]);
    
    for(int i=0;i<=nn;i++) a[i].x=a[i].y=b[i].x=b[i].y=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i].x=1;
    for(int i=0;i<=m;i++) b[i].x=bb[i]*bb[i]*bb[i];
    fft(a,1);fft(b,1);
    for(int i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    for(int i=0;i<=n+m;i++) ans[i]+=(int)(a[i].x+0.5);
    // for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",ans[i]);
    
    for(int i=0;i<=nn;i++) a[i].x=a[i].y=b[i].x=b[i].y=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) a[i].x=2*aa[i];
    for(int i=0;i<=m;i++) b[i].x=bb[i]*bb[i];
    fft(a,1);fft(b,1);
    for(int i=0;i<=nn;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
    for(int i=0;i<=n+m;i++) ans[i]-=(int)(a[i].x+0.5);
    // for(int i=0;i<=n+m;i++) printf("%d ",ans[i]);printf("
");
    
    
    op[0]=0;
    for(int i=m;i<=n;i++) if(!ans[i])
    {
        op[++op[0]]=i-m;
    }
    printf("%d
",op[0]);
    for(int i=1;i<=op[0];i++) printf("%d
",op[i]);
    return 0;
}

2017-04-14 2017-04-14