【BZOJ 4555】 4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 （NTT）

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

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Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

 输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87

HINT

Source

【分析】

　　额。。要用第二类斯特林数的展开式？

　　表示并不会。于是看题解。ORZ。。ATP大神

　　

　　带进去，注意不用管j从1到i，因为j从1到n的话后面都是0，没有关系的。

　　最后化成

　　

　　一脸卷积么？个人认为还不是很能看出来。

　　但是，就是！

　　

　　h用NTT求，然后求和即可。

　　再次ORZ。。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Maxn 500010
#define LL long long
const int Mod=998244353;
const int G=3;

int a[Maxn],b[Maxn],fac[Maxn];

int qpow(int x,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=1LL*ans*x%Mod;
        x=1LL*x*x%Mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
} 

int nn,R[Maxn],inv;
void ntt(int *s,int f)
{
    for(int i=0;i<nn;i++) if(i<R[i]) swap(s[i],s[R[i]]);
    for(int i=1;i<nn;i<<=1)
    {
        int wn=qpow(G,(Mod-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<nn;j+=(i<<1))
        {
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                int x=s[j+k],y=1LL*w*s[j+k+i]%Mod;
                s[j+k]=(x+y)%Mod;s[j+k+i]=((x-y)%Mod+Mod)%Mod;
                w=1LL*w*wn%Mod;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
    {
        reverse(s+1,s+nn);
        for(int i=0;i<=nn;i++) s[i]=1LL*s[i]*inv%Mod;
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1LL*i*fac[i-1]%Mod;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        a[i]=qpow(fac[i],Mod-2);
        if(i&1) a[i]=Mod-a[i];
        b[i]=(1-qpow(i,n+1))%Mod;
        b[i]=1LL*b[i]*qpow(1-i,Mod-2)%Mod;
        b[i]=1LL*b[i]*qpow(fac[i],Mod-2)%Mod;
        b[i]=(b[i]%Mod+Mod)%Mod;
    }
    nn=1;int ll=0;
    while(nn<=2*n) nn<<=1,ll++;
    for(int i=0;i<=nn;i++) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(ll-1));
    inv=qpow(nn,Mod-2);
    b[1]=n+1;
    ntt(a,1);ntt(b,1);
    for(int i=0;i<=nn;i++) a[i]=1LL*a[i]*b[i]%Mod;
    ntt(a,-1);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ans=(ans+1LL*a[i]*qpow(2,i)%Mod*fac[i])%Mod;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

代码只需在FFT基础上修改一点点即可。

对于原根，因为你读题时就知道模数，你可以自己打个暴力求一下。具体方法在FFT和NTT总结中有说。

然后你直接赋值原根G的值就好了。

2017-04-14 15:10:42