线段树，类似区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)!
性质：父亲的区间是[a,b],(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]，线段树需要的空间为数组大小的四倍
证明线段树需要的空间为数组大小的四倍：
设根区间为[1,n]，根据二叉树的性质：
1，二叉树的总节点数N=N0+N1+N2
2，N=二叉树的总度数+1=0×N0+1×N1+2×N2
又有线段树的N1=0，N0=n，N2=N0+1=n+1
可得线段树的总节点数N=2×n+1
若采用数组来存放，则根据二叉树的性质：
3，节点数为N的完全二叉树，树的高度为（log2n）+1
4，高度为h的二叉树最多有2h-1个节点
又线段树是一颗完全二叉树
可得数组的最大长度应为2^(（log2n）+1)-1=4n-1
1.单点更新，区间求和，例题：HDU 1166
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define lson l,mid,rt<<1 4 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 5 const int N=50000+11; 6 int a[N<<2]; 7 void getdown(int rt) 8 { 9 a[rt]=a[rt<<1]+a[rt<<1|1]; 10 } 11 void build(int l,int r,int rt) 12 { 13 if(l==r) 14 { 15 scanf("%d",&a[rt]); 16 return ; 17 } 18 int mid=(l+r)>>1; 19 build(lson); 20 build(rson); 21 getdown(rt); 22 } 23 void updata(int p,int x,int l,int r,int rt) 24 { 25 if(l==r) 26 { 27 a[rt]+=x; 28 return ; 29 } 30 int mid=(l+r)>>1; 31 if(p<=mid) updata(p,x,lson); 32 else updata(p,x,rson); 33 getdown(rt); 34 } 35 int Q(int L,int R,int l,int r,int rt) 36 { 37 if(L<=l&&R>=r) return a[rt]; 38 int ans=0; 39 int mid=(l+r)>>1; 40 if(L<=mid) ans+=Q(L,R,lson); 41 if(R>mid) ans+=Q(L,R,rson); 42 return ans; 43 } 44 int main() 45 { 46 int t,cas=0,n; 47 scanf("%d",&t); 48 while(t--) 49 { 50 scanf("%d",&n); 51 build(1,n,1); 52 char s[10];int x,y; 53 printf("Case %d: ",++cas); 54 while(scanf("%s",s)&&s[0]!='E') 55 { 56 scanf("%d%d",&x,&y); 57 if(s[0]=='Q') printf("%d ",Q(x,y,1,n,1)); 58 if(s[0]=='A') updata(x,y,1,n,1); 59 if(s[0]=='S') updata(x,-y,1,n,1); 60 } 61 } 62 return 0; 63 }
2.区间更新，区间求和，例题：POJ 3468
1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define lson l,mid,rt<<1 4 #define rson mid+1,r,rt<<1|1 5 typedef long long ll; 6 const int N=1e5+11; 7 ll add[N<<2],sum[N<<2]; 8 void Pushup(int rt) 9 { 10 sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1]; 11 } 12 void Pushdown(int rt,int d) 13 { 14 if(add[rt]) 15 { 16 add[rt<<1]+=add[rt]; 17 add[rt<<1|1]+=add[rt]; 18 sum[rt<<1]+=add[rt]*(d-(d>>1)); 19 sum[rt<<1|1]+=add[rt]*(d>>1); 20 add[rt]=0; 21 } 22 } 23 void build(int l,int r,int rt) 24 { 25 add[rt]=0; 26 if(l==r) 27 { 28 scanf("%I64d",&sum[rt]); 29 return ; 30 } 31 int mid=(l+r)>>1; 32 build(lson);build(rson); 33 Pushup(rt); 34 } 35 void updata(int L,int R,int x,int l,int r,int rt) 36 { 37 if(L<=l&&R>=r) 38 { 39 add[rt]+=x; 40 sum[rt]+=(ll)x*(r-l+1); 41 return ; 42 } 43 Pushdown(rt,r-l+1); 44 int mid=(l+r)>>1; 45 if(L<=mid) updata(L,R,x,lson); 46 if(R>mid) updata(L,R,x,rson); 47 Pushup(rt); 48 } 49 ll Q(int L,int R,int l,int r,int rt) 50 { 51 if(L<=l&&R>=r) 52 return sum[rt]; 53 Pushdown(rt,r-l+1); 54 int mid=(l+r)>>1; 55 ll ans=0; 56 if(L<=mid) ans+=Q(L,R,lson); 57 if(R>mid) ans+=Q(L,R,rson); 58 return ans; 59 } 60 int main() 61 { 62 int n,m,x,y,z; 63 char op[2]; 64 scanf("%d%d",&n,&m); 65 build(1,n,1); 66 while(m--) 67 { 68 scanf("%s",op); 69 if(op[0]=='C') 70 { 71 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 72 updata(x,y,z,1,n,1); 73 } 74 else 75 { 76 scanf("%d%d",&x,&y); 77 printf("%I64d ",Q(x,y,1,n,1)); 78 } 79 } 80 return 0; 81 }