P1966 火柴排队

传送门

显然有一个想法，把 $A,B$ 从小到大一一对应，这样距离最小，证明的话好像挺显然的

设 $A_i<A_{i+1}$ ，$B_{i}<B_{i+1}$，那么如果 $A_i$ 对应 $B_i$，$A_{i+1}$ 对应 $B_{i+1}$

距离为 $(A_i-B_i)^2+(A_{i+1}-B_{i+1})^2=A_{i}^{2}-2A_iB_i+B_{i}^2+A_{i+1}^{2}-2A_{i+1}B_{i+1}+B_{i+1}^2$

如果 $A_i$ 对应 $B_{i+1}$ ，$A_{i+1}$ 对应 $B_{i}$ 那么距离同样可以算出，为

$A_{i}^2-2A_{i}B_{i+1}+B_{i+1}^2+A_{i+1}^2-2A_{i+1}B{i}+B_{i+1}^2$

两式相减，得到 $-2(A_iB_i+A_{i+1}B_{i+1}-A_{i+1}B_{i}-A_{i}B_{i+1}) = -2(A_i(B_i-B_{i+1})+A_{i+1}(B_{i+1}-B_i)) = -2((A_i-A_{i+1})(B_i-B_{i+1}))$

因为 $A_i<A_{i+1}$ ，$B_{i}<B_{i+1}$，所以上式小于 $0$

所以按从小到大一一对应是最优的

然后考虑交换次数怎么求，显然 $B$ 的某个交换 $A$ 都有对应的交换，两者等价

所以只要考虑 $A$ 怎么交换就行。每个火柴高度各不相同，确定了 $A$ 和 $B$ 的唯一的对应关系，所以我们知道每个 $A_{i}$ 最终的位置

设初始位置为 $i$ 的火柴最终要到达位置 $C_i$，那么我们可以发现 $C_i$ 是一个 $1$ 到 $n$ 的排列

而且最终交换完成后，$C_i$ 会变成 $1,2,3,...,n$ 的样子

考虑用最少的步数把 $C_i$ 排序，显然这个就是答案，可以证明最小步数等于初始时 $C_i$ 的逆序对数量

证明如下：

考虑一次交换，它要么减少 $0$ 逆序对，要么减少 $1$ 逆序对，而最终状态的逆序对数量为 $0$（也是唯一逆序对为 $0$ 的状态）

考虑冒泡排序的过程，每次选择 $i<j$ 且 $C_i>C_j$ 的数对进行交换，这样最终一定可以达到最终状态

而且发现冒泡排序时，每次交换都会减少 $1$ 逆序对，所以我们交换时就可以模拟冒泡排序，达到最终状态

综上，每次交换逆序对最多减少 $1$，且总有交换使得逆序对减少 $1$，所以逆序对数量就是最少交换次数

我们可以用树状数组求逆序对数量

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x*f;
}
const int N=2e6+7,mo=99999997;
int n,c[N];
struct dat{
    int v,id;
    inline bool operator < (const dat &tmp) const {
        return v<tmp.v;
    }
}a[N],b[N];
int t[N];
ll ans;
inline void add(int x) { while(x<=n) t[x]++,x+=x&-x; }
inline int ask(int x) { int res=0; while(x) res+=t[x],x-=x&-x; return res; }
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i].v=read(),a[i].id=i;
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i].v=read(),b[i].id=i;
    sort(a+1,a+n+1); sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) c[a[i].id]=b[i].id;
    for(int i=n;i;i--)
        ans+=ask(c[i]),add(c[i]);
    printf("%lld
",ans%mo);
    return 0;
}