（写篇博客证明自己还活着）
在OI中，有些时候我们会遇到一些维护多维信息的题目，比如经典的三维偏序，或者带修改区间k小值
这个时候有的dalao就会跳出来大喊“整体二分！”“CDQ！”
然而这并不是我们今天讨论的重点……并且在强制在线的情况下，上面这两种算法就无能为力了。
那么我们就需要用数据结构乱堆树套树的方法来解决这类问题。这类树套树解法以码量大和难调试著称。
通过用一种（棵？）数据结构维护一维信息，我们可以实现在线地维护多维信息。
那么让我们开始总结一下树套树吧！
一.线段树/树状数组套平衡树
这大概是没接触过树套树的同学接触的第一种树套树类型吧。。。
这种套法一般是用外层的树维护区间信息，在外层树的每一个节点放一棵内层树，内层的树维护权值信息。
比如说查区间第k大，用套平衡树的做法就是二分权值val->到这个区间对应的log个线段树节点上查val的rank值，加起来与目标值进行比较
这种做法的空间需求是$O(nlogn)$的，由于每个元素都会在logn个外层树节点中插入自己
而时间复杂度上，除了查询区间第k大，每次操作是O(nlog2n)的，
由于在logn个外层树上都要用$O(logn)$的时间查询
查询第k大是$O(nlog3n)$的，由于在logn个外层树上都要用$O(logn)$的时间查询。
这种类型的树套树，经典的有：
bzoj3196 二逼平衡树
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<ctime> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 const int N=50000+10; 8 int val[N],n,m,a,b,c,o; 9 struct node 10 { 11 node* ch[2]; 12 int rank,val,size,ge; 13 node (int x){val=x;rank=rand();size=ge=1;ch[1]=ch[0]=NULL;} 14 void tain() 15 { 16 size=1; 17 if(ch[0])size+=ch[0]->size; 18 if(ch[1])size+=ch[1]->size; 19 } 20 }; 21 inline int s(node* o){return o?o->size:0;} 22 node* root[4*N]; 23 void rotate(node* &o,int d) 24 { 25 node* k=o->ch[d^1];o->ch[d^1]=k->ch[d];k->ch[d]=o; 26 o->tain();k->tain();o=k; 27 } 28 void insert(node* &o,int val) 29 { 30 if(o==NULL){o=new node(val);return;} 31 if(val<o->val) 32 { 33 insert(o->ch[0],val); 34 if(o->ch[0]->rank > o->rank) 35 rotate(o,1); 36 } 37 else 38 { 39 insert(o->ch[1],val); 40 if(o->ch[1]->rank > o->rank) 41 rotate(o,0); 42 } 43 o->tain(); 44 } 45 inline void build(int le,int ri,int num) 46 { 47 for(int i=le;i<=ri;i++)insert(root[num],val[i]); 48 } 49 void treeins(int le,int ri,int num) 50 { 51 build(le,ri,num); 52 if(le==ri)return; 53 int mi=(le+ri)>>1; 54 treeins(le,mi,num<<1); 55 treeins(mi+1,ri,(num<<1)|1); 56 } 57 void remove(node* &o,int val) 58 { 59 if(val==o->val) 60 { 61 if(o->ch[0]&&o->ch[1]) 62 { 63 int d2=(o->ch[0]->rank > o->ch[1]->rank)?1:0; 64 rotate(o,d2);remove(o->ch[d2],val); 65 } 66 else 67 { 68 node* u=NULL; 69 if(o->ch[0]!=NULL)u=o->ch[0]; 70 else u=o->ch[1]; 71 delete o; 72 o=u; 73 } 74 } 75 else 76 if(val< o->val)remove(o->ch[0],val); 77 else remove(o->ch[1],val); 78 if(o)o->tain(); 79 } 80 inline int find_rank(node* o,int val) 81 { 82 int ge=0; 83 while(o) 84 { 85 if(val> o->val)ge+=s(o->ch[0])+1,o=o->ch[1]; 86 else o=o->ch[0]; 87 } 88 return ge; 89 } 90 int tree_rank(int le,int ri,int num,int val) 91 { 92 if(a<=le&&ri<=b)return find_rank(root[num],val); 93 int mi=(le+ri)>>1; 94 int ret=0; 95 if(b<=mi)return tree_rank(le,mi,num<<1,val); 96 if(mi<a)return tree_rank(mi+1,ri,(num<<1)|1,val); 97 return tree_rank(le,mi,num<<1,val)+tree_rank(mi+1,ri,(num<<1)|1,val); 98 } 99 inline int divide_rank(int val) 100 { 101 int l=0,r=100000000; 102 while(l<=r) 103 { 104 int mi=(l+r)>>1; 105 int ans=tree_rank(1,n,1,mi)+1; 106 if(ans<=val)l=mi+1; 107 else r=mi-1; 108 } 109 return r; 110 } 111 inline int pre(int le,int ri,int val) 112 { 113 int tmp=tree_rank(1,n,1,val); 114 return divide_rank(tmp); 115 } 116 inline int re(int le,int ri,int val) 117 { 118 int tmp=tree_rank(1,n,1,val+1)+1; 119 return divide_rank(tmp); 120 } 121 void change(int le,int ri,int num,int pos,int pre,int now) 122 { 123 remove(root[num],pre); 124 insert(root[num],now); 125 if(le==ri)return; 126 int mi=(le+ri)>>1; 127 if(pos<=mi)change(le,mi,num<<1,pos,pre,now); 128 else change(mi+1,ri,(num<<1)|1,pos,pre,now); 129 } 130 int main() 131 { 132 scanf("%d%d",&n,&m); 133 for(int i=1;i<=n;i++) 134 scanf("%d",&val[i]); 135 treeins(1,n,1); 136 while(m--) 137 { 138 scanf("%d",&o); 139 switch(o) 140 { 141 case 1: 142 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 143 printf("%d ",tree_rank(1,n,1,c)+1);break; 144 case 2: 145 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 146 printf("%d ",divide_rank(c));break; 147 case 3: 148 scanf("%d%d",&a,&b); 149 change(1,n,1,a,val[a],b);val[a]=b;break; 150 case 4: 151 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 152 printf("%d ",pre(a,b,c));break; 153 case 5: 154 scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); 155 printf("%d ",re(a,b,c));break; 156 } 157 } 158 //while(1); 159 }
bzoj3262 陌上花开
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int N=100010,K=200010; 6 int n,k,tot,bit[K]; 7 struct node 8 { 9 int a,b,c,val,id,ans; 10 node(){val=ans=0;} 11 inline void read(){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);} 12 inline void print() 13 {printf("a=%d b=%d c=%d val=%d id=%d ",a,b,c,val,id);} 14 }q[N],tmp[N]; 15 int cnt[N],st[N]; 16 inline int lowbit(int a){return a&-a;} 17 inline void add(int a,int val) 18 {while(a<=k)bit[a]+=val,a+=lowbit(a);} 19 inline int query(int a) 20 {int ret=0;while(a)ret+=bit[a],a-=lowbit(a);return ret;} 21 inline bool mt1(const node &a,const node &b) 22 { 23 if(a.a==b.a&&a.b==b.b)return a.c<b.c; 24 return a.a==b.a?a.b<b.b:a.a<b.a; 25 } 26 inline bool mt2(const node &a,const node &b) 27 { 28 if(a.c==b.c&&a.b==b.b)return a.a<b.a; 29 return a.b==b.b?a.c<b.c:a.b<b.b; 30 } 31 inline bool same(const node &a,const node &b) 32 {return a.a==b.a&&a.b==b.b&&a.c==b.c;} 33 inline void CDQ(int l,int r) 34 { 35 if(l==r){q[l].ans+=q[l].val-1;return;} 36 register int i,mi=l+r>>1,l1=l,l2=mi+1; 37 for(i=l;i<=r;++i) 38 if(q[i].a<=mi)add(q[i].c,q[i].val); 39 else q[i].ans+=query(q[i].c); 40 for(i=l;i<=r;++i) 41 if(q[i].a<=mi)add(q[i].c,-q[i].val); 42 for(i=l;i<=r;++i) 43 if(q[i].a<=mi)tmp[l1++]=q[i]; 44 else tmp[l2++]=q[i]; 45 for(i=l;i<=r;++i)q[i]=tmp[i]; 46 CDQ(l,mi),CDQ(mi+1,r); 47 } 48 int main() 49 { 50 register int i,j,sum; 51 scanf("%d%d",&n,&k);sum=n; 52 for(i=1;i<=n;++i)q[i].read(),q[i].val=1; 53 sort(q+1,q+n+1,mt1); 54 for(n=1,i=2;i<=sum;++i) 55 if(same(q[i],q[n]))++q[n].val; 56 else q[++n]=q[i]; 57 for(i=1;i<=n;++i)q[i].a=i; 58 sort(q+1,q+n+1,mt2); 59 CDQ(1,n); 60 for(i=1;i<=n;++i)cnt[q[i].ans]+=q[i].val; 61 for(i=0;i<sum;++i)printf("%d ",cnt[i]); 62 }
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <iostream> 4 #include <algorithm> 5 #include <cstring> 6 using namespace std; 7 char B[1<<15],*S=B,*T=B; 8 #define getc ( (S==T&&( (T=(S=B)+fread(B,1,1<<15,stdin)),S==T) ) ?0:*S++ ) 9 inline int read() 10 { 11 int x=0;register char c=getc; 12 while(c<'0'||c>'9')c=getc; 13 while(c>='0'&&c<='9')x=10*x+(c^48),c=getc; 14 return x; 15 } 16 #define N 100010 17 #define K 200010 18 struct flower{ 19 int a,b,c,ge; 20 inline void init(){a=read(),b=read(),c=read(),ge=1;} 21 inline bool operator == (const flower x) const 22 {return a==x.a&&b==x.b&&c==x.c;} 23 }f[N]; 24 inline bool mt(const flower &a,const flower &b) 25 { 26 if(a.a!=b.a)return a.a<b.a; 27 return a.b==b.b?a.c<b.c:a.b<b.b; 28 } 29 int n,k,tota,totb,cnt[N]; 30 struct Treap 31 { 32 Treap *ch[2]; 33 int size,cnt,val,key; 34 inline void update(){size=cnt+ch[0]->size+ch[1]->size;} 35 }mema[N<<5],*null=new Treap(); 36 inline Treap* newTreap(int val=0,int size=0,int key=rand()) 37 { 38 Treap *o=mema+(tota++);o->ch[0]=o->ch[1]=null; 39 o->val=val,o->cnt=o->size=size,o->key=key; 40 return o; 41 } 42 inline Treap* merge(Treap *a,Treap *b) 43 { 44 if(a==null)return b; 45 if(b==null)return a; 46 if(a->key > b->key) 47 {a->ch[1]=merge(a->ch[1],b);a->update();return a;} 48 else 49 {b->ch[0]=merge(a,b->ch[0]);b->update();return b;} 50 } 51 #define D pair<Treap*,Treap*> 52 inline D split(Treap *o,int val) 53 { 54 if(o==null)return D(null,null); 55 D y; 56 if(o->val>val) 57 y=split(o->ch[0],val),o->ch[0]=y.second,o->update(),y.second=o; 58 else 59 y=split(o->ch[1],val),o->ch[1]=y.first,o->update(),y.first=o; 60 return y; 61 } 62 inline void insert(Treap *&o,flower p,int key) 63 { 64 if(o->key<key) 65 { 66 Treap *x=newTreap(p.c,p.ge,key); 67 D y=split(o,p.c); 68 x->ch[0]=y.first,x->ch[1]=y.second,x->update(),o=x; 69 return; 70 } 71 if(o->val>p.c)insert(o->ch[0],p,key); 72 else insert(o->ch[1],p,key); 73 o->update(); 74 } 75 inline int grs(Treap *o,int val) 76 { 77 if(o==null)return 0; 78 return (o->val>val)?grs(o->ch[0],val):grs(o->ch[1],val)+o->ch[0]->size+o->cnt; 79 } 80 #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b)) 81 #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b)) 82 int maxb; 83 struct node 84 { 85 Treap *alter;node *ch[2]; 86 }*root,memb[K<<1]; 87 inline node* build(int l,int r) 88 { 89 node *o=memb+(totb++);o->alter=null; 90 if(l==r)return o; 91 int mi=l+r>>1; 92 o->ch[0]=build(l,mi);o->ch[1]=build(mi+1,r); 93 return o; 94 } 95 inline void insert(node *&o,int l,int r,flower p) 96 { 97 insert(o->alter,p,rand()); 98 if(l==r)return; 99 int mi=l+r>>1; 100 if(p.b<=mi)insert(o->ch[0],l,mi,p); 101 else insert(o->ch[1],mi+1,r,p); 102 } 103 inline int query(node *o,int l,int r,int L,int R,int val) 104 { 105 if(L<=l&&r<=R)return grs(o->alter,val); 106 int mi=l+r>>1,ret=0; 107 if(L<=mi)ret=query(o->ch[0],l,mi,L,R,val); 108 if(mi<R)ret+=query(o->ch[1],mi+1,r,L,R,val); 109 return ret; 110 } 111 inline void intn() 112 { 113 null=mema+(tota++),null->size=null->cnt=null->val=0; 114 null->key=-1;null->ch[0]=null->ch[1]=null; 115 root=build(1,maxb); 116 } 117 int main() 118 { 119 register int i,sum; 120 n=read(),k=read(); 121 for(i=1;i<=n;++i)f[i].init(),maxb=max(maxb,f[i].b); 122 sort(f+1,f+n+1,mt);intn(); 123 for(sum=n,n=1,i=2;i<=sum;++i) 124 if(f[i]==f[n])++f[n].ge; 125 else f[++n]=f[i]; 126 for(i=1;i<=n;++i) 127 insert(root,1,maxb,f[i]), 128 cnt[query(root,1,maxb,1,f[i].b,f[i].c)-1]+=f[i].ge; 129 for(i=0;i<sum;++i)printf("%d ",cnt[i]); 130 }
bzoj3295 动态逆序对
1 #include <cstring> 2 #include <cstdio> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 typedef long long LL; 6 const int N=100010,M=50010; 7 struct node 8 { 9 int tim,val,pos; 10 node (int a=0,int b=0,int c=0){tim=a,val=b,pos=c;} 11 }q[N]; 12 int cnt,n,m,a[N],match[N],step[M]; 13 bool vis[N]; 14 LL delta[2][N],num[2][N],bit[N]; 15 inline int lowbit(int a){return a&-a;} 16 inline void add(int a,LL b) 17 {while(a<=n)bit[a]+=b,a+=lowbit(a);} 18 inline LL sum(int a) 19 {LL ret=0;while(a)ret+=bit[a],a-=lowbit(a);return ret;} 20 inline void gsum0() 21 { 22 for(register int i=1;i<=n;++i) 23 num[0][i]=sum(a[i]),add(a[i],1); 24 memset(bit,0,sizeof(bit)); 25 } 26 inline void gsum1() 27 { 28 for(register int i=n;i;--i) 29 num[1][i]=sum(a[i]),add(1,1),add(a[i],-1); 30 memset(bit,0,sizeof(bit)); 31 } 32 inline void readin() 33 { 34 register int i;scanf("%d%d",&n,&m); 35 for(i=1;i<=n;++i) 36 scanf("%d",&a[i]),a[i]=n-a[i]+1,match[a[i]]=i; 37 gsum0();gsum1(); 38 for(i=1;i<=m;++i) 39 scanf("%d",&step[i]),step[i]=n-step[i]+1,vis[step[i]]=1; 40 } 41 inline bool mt1(const node &a,const node &b){return a.pos<b.pos;} 42 inline bool mt2(const node &a,const node &b){return a.tim<b.tim;} 43 inline void CDQ0(int l,int r) 44 { 45 if(l==r)return; 46 register int mi=l+r>>1,i; 47 CDQ0(l,mi);CDQ0(mi+1,r); 48 sort(q+l,q+r+1,mt1); 49 for(i=l;i<=r;++i) 50 if(q[i].tim<=mi)add(q[i].val,1); 51 else delta[0][q[i].tim]+=sum(q[i].val); 52 for(i=l;i<=r;++i) 53 if(q[i].tim<=mi)add(q[i].val,-1); 54 } 55 inline void CDQ1(int l,int r) 56 { 57 if(l==r)return; 58 register int mi=l+r>>1,i; 59 CDQ1(l,mi);CDQ1(mi+1,r); 60 sort(q+l,q+r+1,mt1); 61 for(i=r;i>=l;--i) 62 if(q[i].tim<=mi)add(1,1),add(q[i].val,-1); 63 else delta[1][q[i].tim]+=sum(q[i].val); 64 for(i=r;i>=l;--i) 65 if(q[i].tim<=mi)add(1,-1),add(q[i].val,1); 66 } 67 int main() 68 { 69 register int i;readin(); 70 for(i=1;i<=m;++i) 71 q[++cnt]=node(cnt,step[i],match[step[i]]); 72 for(i=1;i<=n;++i) 73 if(!vis[a[i]])q[++cnt]=node(cnt,a[i],i); 74 CDQ0(1,n),sort(q+1,q+n+1,mt2),CDQ1(1,n); 75 LL ans=0;int pos; 76 for(i=1;i<=n;++i)ans+=num[0][i]; 77 for(i=1;i<=m;++i) 78 { 79 printf("%lld ",ans),pos=match[step[i]], 80 ans-=(num[0][pos]+num[1][pos]), 81 ans+=(delta[0][i]+delta[1][i]); 82 } 83 }
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <iostream> 4 #include <cstring> 5 using namespace std; 6 #define N 100010 7 int n,m,tota,totb; 8 int a[N],b[N],tmp[N]; 9 #define LL long long 10 LL ans; 11 struct Treap 12 { 13 int val,size,key;Treap *ch[2]; 14 Treap(){ch[0]=ch[1]=NULL;val=size=0;} 15 inline void update(){size=ch[0]->size+1+ch[1]->size;} 16 }mema[N<<5],*null=new Treap(); 17 inline Treap* newTreap(int val=0,int key=rand()) 18 { 19 Treap *o=mema+(tota++); 20 o->ch[0]=o->ch[1]=null; 21 o->key=key;o->val=val; 22 o->size=1;return o; 23 } 24 inline Treap* merge(Treap* a,Treap* b) 25 { 26 if(a==null)return b; 27 if(b==null)return a; 28 if(a->key > b->key) {a->ch[1]=merge(a->ch[1],b);a->update();return a;} 29 else {b->ch[0]=merge(a,b->ch[0]),b->update();return b;} 30 } 31 #define D pair<Treap*,Treap*> 32 inline D split1(Treap *o,int k) 33 { 34 if(o==null)return D(null,null); 35 D y; 36 if(o->ch[0]->size>=k) 37 y=split1(o->ch[0],k),o->ch[0]=y.second,o->update(),y.second=o; 38 else 39 y=split1(o->ch[1],k-o->ch[0]->size-1),o->ch[1]=y.first,o->update(),y.first=o; 40 return y; 41 } 42 inline D split2(Treap *o,int val) 43 { 44 if(o==null)return D(null,null); 45 D y; 46 if(o->val>=val) 47 y=split2(o->ch[0],val),o->ch[0]=y.second,o->update(),y.second=o; 48 else 49 y=split2(o->ch[1],val),o->ch[1]=y.first,o->update(),y.first=o; 50 return y; 51 } 52 inline void del(Treap *&o,int val) 53 { 54 if(o==null)return; 55 if(o->val>val)del(o->ch[0],val); 56 else if(o->val==val){o=merge(o->ch[0],o->ch[1]);return;} 57 else del(o->ch[1],val); 58 o->update(); 59 } 60 inline void insert(Treap *&o,int val,int key) 61 { 62 if(o->key<key) 63 { 64 Treap *x=newTreap(val,key); 65 D y=split2(o,val); 66 x->ch[0]=y.first,x->ch[1]=y.second; 67 x->update(),o=x; 68 return; 69 } 70 else if(o->val>=val)insert(o->ch[0],val,key); 71 else insert(o->ch[1],val,key); 72 o->update(); 73 } 74 inline int grb(Treap *o,int val) 75 { 76 if(o==null)return 0; 77 return (o->val<=val)?grb(o->ch[1],val):(grb(o->ch[0],val)+o->ch[1]->size+1); 78 } 79 inline int grs(Treap *o,int val) 80 { 81 if(o==null)return 0; 82 return (o->val>=val)?grs(o->ch[0],val):(grs(o->ch[1],val)+o->ch[0]->size+1); 83 } 84 struct node 85 { 86 Treap *summa;node *ch[2]; 87 node(){ch[0]=ch[1]=NULL;} 88 }memb[N<<1],*root; 89 inline node* build(int l,int r) 90 { 91 node *o=memb+(totb++);o->summa=null; 92 if(l==r)return o; 93 int mi=l+r>>1; 94 o->ch[0]=build(l,mi),o->ch[1]=build(mi+1,r); 95 return o; 96 } 97 inline int queryl(node *o,int l,int r,int L,int R,int val) 98 { 99 if(L<=l&&r<=R)return grb(o->summa,val); 100 int mi=l+r>>1,ret=0; 101 if(L<=mi)ret=queryl(o->ch[0],l,mi,L,R,val); 102 if(mi<R)ret+=queryl(o->ch[1],mi+1,r,L,R,val); 103 return ret; 104 } 105 inline int queryr(node *o,int l,int r,int L,int R,int val) 106 { 107 if(L<=l&&r<=R)return grs(o->summa,val); 108 int mi=l+r>>1,ret=0; 109 if(L<=mi)ret=queryr(o->ch[0],l,mi,L,R,val); 110 if(mi<R)ret+=queryr(o->ch[1],mi+1,r,L,R,val); 111 return ret; 112 } 113 inline void insert(node *o,int l,int r,int pos,int val) 114 { 115 insert(o->summa,val,rand()); 116 if(l==r)return; 117 int mi=l+r>>1; 118 if(pos<=mi)insert(o->ch[0],l,mi,pos,val); 119 else insert(o->ch[1],mi+1,r,pos,val); 120 } 121 inline void del(node *o,int l,int r,int pos,int val) 122 { 123 del(o->summa,val); 124 if(l==r)return; 125 int mi=l+r>>1; 126 if(pos<=mi)del(o->ch[0],l,mi,pos,val); 127 else del(o->ch[1],mi+1,r,pos,val); 128 } 129 inline void get_base(int l,int r) 130 { 131 if(l==r)return; 132 int mi=l+r>>1,p=l,q=mi+1,h=l; 133 get_base(l,mi),get_base(mi+1,r); 134 while(p<=mi&&q<=r) 135 if(a[p]<a[q])tmp[h++]=a[p++]; 136 else ans+=(mi-p+1),tmp[h++]=a[q++]; 137 while(p<=mi)tmp[h++]=a[p++]; 138 while(q<=r)tmp[h++]=a[q++]; 139 for(int i=l;i<=r;++i)a[i]=tmp[i]; 140 } 141 char B[1<<15],*S=B,*T=B; 142 #define getc ( S==T&& (T=(S=B)+fread(B,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++ ) 143 inline int read() 144 { 145 int x=0;register char c=getc; 146 while(c<'0'||c>'9')c=getc; 147 while(c>='0'&&c<='9')x=10*x+(c^48),c=getc; 148 return x; 149 } 150 int main() 151 { 152 register int i,j; 153 null->ch[0]=null->ch[1]=null,null->key=-0x7fffffff; 154 n=read(),m=read(),root=build(1,n); 155 for(i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),insert(root,1,n,i,a[i]); 156 memcpy(b,a,sizeof(a)); 157 get_base(1,n); 158 for(i=1;i<=n;++i)tmp[b[i]]=i; 159 while(m--) 160 i=read(),j=tmp[i],printf("%lld ",ans), 161 ans-=queryl(root,1,n,1,j,i)+queryr(root,1,n,j,n,i), 162 del(root,1,n,j,i); 163 }
bzoj2141 排队（和上面那题差不多，就不附代码了）
这些题没有太大的难度，直接按照题意操作即可～
二.线段树/树状数组套权值线段树
如果是套线段树，就是我们常说的“树状数组套主席树”了。
其实这里的内层线段树并不是主席树，而是很多颗权值线段树.
这样套的好处就是让原本静态的主席树变得可以支持修改，因为每次修改只会更改logn级别棵内层树的信息
线段树依然有区间加减性，因此对于某一个给定区间我们可以用log棵权值线段树通过加减来“拼”出对应区间的线段树
所以每一种操作都是$O(nlog2n)$的.
这类树套树的习题有：
bzoj4009 接水果（模型转换之后整体二分or线段树套线段树）
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 #define inf 1000000000 6 #define N 40010 7 int tot,cnt,n,p,q,e,adj[N]; 8 struct edge{int zhong,next;}s[N<<1]; 9 inline void add(int qi,int zhong) 10 {s[++e].zhong=zhong;s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;} 11 char B[1<<15],*S=B,*T=B; 12 #define getc ( S==T&&(T=(S=B)+fread(B,1,1<<15,stdin),S==T)?0:*S++ ) 13 inline int read() 14 { 15 int x=0;register char c=getc; 16 while(c<'0'||c>'9')c=getc; 17 while(c>='0'&&c<='9')x=10*x+(c^48),c=getc; 18 return x; 19 } 20 int f[N][16],bin[25],tp,deep[N]; 21 int st[N],ed[N],val[N],l[N],r[N],num; 22 inline void mission1(int rt) 23 {for(int i=1;i<=tp;++i)f[rt][i]=f[f[rt][i-1]][i-1];} 24 inline int LCA(int a,int b) 25 { 26 if(deep[a]<deep[b])a^=b,b^=a,a^=b; 27 register int i,cha=deep[a]-deep[b]; 28 for(i=tp;~i;--i)if(cha&bin[i])a=f[a][i]; 29 if(a==b)return a; 30 for(i=tp;~i;--i) 31 if(f[a][i]!=f[b][i])a=f[a][i],b=f[b][i]; 32 return f[a][0]; 33 } 34 inline int gonear(int a,int b) 35 { 36 register int i,cha=deep[a]-deep[b]-1; 37 for(i=tp;~i;--i)if(cha&bin[i])a=f[a][i]; 38 return a; 39 } 40 inline void dfs1(int rt,int fa) 41 { 42 f[rt][0]=fa,deep[rt]=deep[fa]+1; 43 l[rt]=++num,mission1(rt); 44 for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next) 45 if(s[i].zhong!=fa)dfs1(s[i].zhong,rt); 46 r[rt]=num; 47 } 48 int ans[N],sum[N],bit[N]; 49 #define lowbit(i) ((i)&(-(i))) 50 inline void update(int l,int r,int val) 51 { 52 for(int i=l;i<=n;i+=lowbit(i))bit[i]+=val; 53 for(int i=r+1;i<=n;i+=lowbit(i))bit[i]-=val; 54 } 55 inline int query(int i) 56 { 57 int ret=0; 58 for(;i>0;i-=lowbit(i))ret+=bit[i]; 59 return ret; 60 } 61 struct plate{int x1,x2,y1,y2,val;}pl[N<<1]; 62 struct fruit{int x,y,k,id;}fr[N],tmp1[N],tmp2[N]; 63 struct node{int x,y1,y2,val,id;}eve[N*5]; 64 inline bool mt(const plate &a,const plate &b){return a.val<b.val;} 65 inline bool mt2(const node &a,const node &b){return a.x==b.x?a.id<b.id:a.x<b.x;} 66 inline void get_ans(int le,int ri,int L,int R) 67 { 68 if(L>R)return; 69 if(le==ri) 70 { 71 for(int i=L;i<=R;++i)ans[fr[i].id]=pl[le].val; 72 return; 73 } 74 int a=0,b=0,mi=le+ri>>1;tot=0; 75 for(int i=le;i<=mi;++i) 76 eve[++tot]=(node){pl[i].x1,pl[i].y1,pl[i].y2,1,0}, 77 eve[++tot]=(node){pl[i].x2,pl[i].y1,pl[i].y2,-1,q+1}; 78 for(int i=L;i<=R;++i) 79 eve[++tot]=(node){fr[i].x,fr[i].y,0,0,i}; 80 sort(eve+1,eve+tot+1,mt2); 81 for(int i=1;i<=tot;++i) 82 if(L<=eve[i].id&&eve[i].id<=R)sum[eve[i].id]=query(eve[i].y1); 83 else update(eve[i].y1,eve[i].y2,eve[i].val); 84 for(int i=L;i<=R;++i) 85 if(sum[i]>=fr[i].k)tmp1[++a]=fr[i]; 86 else tmp2[++b]=fr[i],tmp2[b].k-=sum[i]; 87 for(int i=1;i<=a;++i)fr[i+L-1]=tmp1[i]; 88 for(int i=1;i<=b;++i)fr[i+L+a-1]=tmp2[i]; 89 get_ans(le,mi,L,L+a-1),get_ans(mi+1,ri,L+a,R); 90 } 91 int main() 92 { 93 register int i,j,a,b,c,lca,x; 94 n=read(),p=read(),q=read(); 95 for(i=bin[0]=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1; 96 while(bin[tp+1]<=n)++tp; 97 for(i=1;i<n;++i)a=read(),b=read(),add(a,b),add(b,a); 98 dfs1(1,0); 99 for(i=1;i<=p;++i) 100 { 101 a=read(),b=read(),c=read(),lca=LCA(a,b); 102 if(l[a]>l[b])a^=b,b^=a,a^=b; 103 if(a!=lca) 104 pl[++cnt]=(plate){l[a],r[a],l[b],r[b],c}; 105 else 106 { 107 x=gonear(b,a); 108 if(l[x]>1)pl[++cnt]=(plate){1,l[x]-1,l[b],r[b],c}; 109 if(r[x]<n)pl[++cnt]=(plate){l[b],r[b],r[x]+1,n,c}; 110 } 111 } 112 for(i=1;i<=q;++i) 113 { 114 a=read(),b=read(),c=read(); 115 if(l[a]>l[b])a^=b,b^=a,a^=b; 116 fr[i]=(fruit){l[a],l[b],c,i}; 117 } 118 sort(pl+1,pl+cnt+1,mt),get_ans(1,cnt,1,q); 119 for(i=1;i<=q;++i)printf("%d ",ans[i]); 120 }
（没打树套树……懒了233）
bzoj1146 网络管理Network（树状数组套主席树上树）
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 using namespace std; 4 #define N 80010 5 #define inf 100000000 6 char B[1<<15],*S=B,*T=B; 7 #define GG puts("invalid request!") 8 #define getc ( S==T&&(T=(S=B)+fread(B,1,1<<15,stdin),S==T) ?0:*S++ ) 9 inline int read() 10 { 11 int x=0;register char c=getc; 12 while(c<'0'||c>'9')c=getc; 13 while(c>='0'&&c<='9')x=10*x+(c^48),c=getc; 14 return x; 15 } 16 int n,e=0,adj[N],t[N],tot,m; 17 struct edge{int zhong,next;}s[N<<1]; 18 inline void add(int qi,int zhong) 19 {s[++e].zhong=zhong;s[e].next=adj[qi];adj[qi]=e;} 20 #define lowbit(a) ((a)&(-(a))) 21 int num,l[N],r[N]; 22 struct node 23 { 24 node *ch[2];int size; 25 node(){ch[0]=ch[1]=NULL;size=0;} 26 }*root[N<<1],mem[(N<<8)+10],*null,*stacka[1010],*stackb[1010]; 27 inline void insert(node *&o,int l,int r,int pos,int val) 28 { 29 if(o==null) 30 o=mem+(tot++),o->size=0,o->ch[0]=o->ch[1]=null; 31 o->size+=val;if(l==r)return; 32 int mi=l+r>>1; 33 if(pos<=mi)insert(o->ch[0],l,mi,pos,val); 34 else insert(o->ch[1],mi+1,r,pos,val); 35 } 36 inline void insert(int id,int val,int opt) 37 { 38 while(id<=m) 39 insert(root[id],0,inf,val,opt),id+=lowbit(id); 40 } 41 int f[N][17],bin[25],tp,deep[N],cnta,cntb; 42 inline void mission1(int rt) 43 {for(int i=1;i<=tp;++i)f[rt][i]=f[ f[rt][i-1] ][i-1];} 44 inline void dfs1(int rt,int fa) 45 { 46 f[rt][0]=fa,deep[rt]=deep[fa]+1;mission1(rt); 47 l[rt]=++num,insert(l[rt],t[rt],1); 48 for(int i=adj[rt];i;i=s[i].next) 49 if(s[i].zhong!=fa)dfs1(s[i].zhong,rt); 50 r[rt]=++num,insert(r[rt]+1,t[rt],-1); 51 } 52 inline void intn() 53 { 54 null=new node(),null->size=0,null->ch[0]=null->ch[1]=null; 55 for(int i=0;i<=m;++i)root[i]=null; 56 dfs1(1,0); 57 } 58 inline int LCA(int a,int b) 59 { 60 if(deep[a]<deep[b])a^=b,b^=a,a^=b; 61 int cha=deep[a]-deep[b]; 62 for(int i=tp;~i;--i)if(cha&bin[i])a=f[a][i]; 63 if(a==b)return a; 64 for(int i=tp;~i;--i) 65 if(f[a][i]!=f[b][i])a=f[a][i],b=f[b][i]; 66 return f[a][0]; 67 } 68 inline void get(int id,int opt) 69 { 70 while(id>0) 71 { 72 if(opt==1)stacka[++cnta]=root[id]; 73 else stackb[++cntb]=root[id]; 74 id-=lowbit(id); 75 } 76 } 77 inline int query(int le,int ri,int k) 78 { 79 if(le==ri)return le; 80 register int i,mi=le+ri>>1,sum=0; 81 for(i=1;i<=cnta;++i)sum+=stacka[i]->ch[1]->size; 82 for(i=1;i<=cntb;++i)sum-=stackb[i]->ch[1]->size; 83 if(sum>=k) 84 { 85 for(i=1;i<=cnta;++i)stacka[i]=stacka[i]->ch[1]; 86 for(i=1;i<=cntb;++i)stackb[i]=stackb[i]->ch[1]; 87 return query(mi+1,ri,k); 88 } 89 else 90 { 91 for(i=1;i<=cnta;++i)stacka[i]=stacka[i]->ch[0]; 92 for(i=1;i<=cntb;++i)stackb[i]=stackb[i]->ch[0]; 93 return query(le,mi,k-sum); 94 } 95 } 96 inline void get_ans(int le,int ri,int k) 97 { 98 int lca=LCA(le,ri); 99 if(k> deep[le]+deep[ri]- (deep[lca]<<1) +1 ){GG;return;} 100 cnta=cntb=0, 101 get(l[le],1),get(l[lca],-1), 102 get(l[ri],1),get(l[f[lca][0]],-1); 103 printf("%d ",query(0,inf,k)); 104 } 105 inline void change(int pos,int val) 106 { 107 insert(l[pos],t[pos],-1),insert(r[pos]+1,t[pos],1),t[pos]=val, 108 insert(l[pos],val,1),insert(r[pos]+1,val,-1); 109 } 110 int main() 111 { 112 register int i,j,q,a,b,opt; 113 n=read(),q=read(),m=n<<1; 114 for(bin[0]=i=1;i<=20;++i)bin[i]=bin[i-1]<<1; 115 while(bin[tp+1]<=n)++tp; 116 for(i=1;i<=n;++i)t[i]=read(); 117 for(i=1;i<n;++i) 118 a=read(),b=read(),add(a,b),add(b,a); 119 intn(); 120 while(q--) 121 { 122 opt=read(),a=read(),b=read(); 123 if(opt)get_ans(a,b,opt); 124 else change(a,b); 125 } 126 }
三.平衡树套权值线段树/平衡树
这大概是比较高端的一种套法？
有的时候我们会发现线段树无法胜任套在外面这个要求，比如一个常见的原因是区间长度固定，无法支持区间内的插入。
那么我们就需要外层的数据结构是平衡树了：平衡树可以在中间插入。
并且这树还不能旋转，由于旋转带来的父子关系改变带来的维护会耗费大量的时间。
那么我们的选择只剩下替罪羊树和无旋Treap了。
我们一般使用替罪羊树而不是无旋Treap，因为无旋Treap常数大，并且在split和merge时的信息维护也很慢……
在实际编程时，我们就正常的插入，在替罪羊的节点对应的内层树中插入新点的权值，后面的查询操作根据题意而定。
只要没有玩脱这些操作的复杂度也都是$O(nlog2n)$的。
这种类型的题目有：
bzoj3065 带插入区间k小值 （替罪羊套权值线段树，操作的时候和树状数组套线段树差不多，提取出通过加减可以表达对应区间的根节点组，然后找到答案。）
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 using namespace std; 4 #define N 70010 5 #define MAXN 70000 6 int n,a[N]; 7 char B[1<<15],*S=B,*T=B,X=0; 8 #define getc ( S==T && ( T=(S=B)+fread(B,1,1<<15,stdin), S==T) ? 0: *S++ ) 9 inline int read() 10 { 11 int x=0; 12 while(X<'0'||X>'9')X=getc; 13 while(X>='0'&&X<='9')x=10*x+(X^48),X=getc; 14 return x; 15 } 16 inline char readc(){while(X<'A'||X>'Z')X=getc;return X;} 17 int topa,topb,top,cnta,cntb; 18 struct node 19 { 20 node* ch[2];int size; 21 node(){size=0,ch[0]=ch[1]=NULL;} 22 }*NIL=new node(),mem[(N<<8)+10],*pool[(N<<8)+10],*stacka[510],*stackb[510]; 23 inline void dfs2(node *o) 24 { 25 if(o==NIL)return; 26 if(o->ch[0]!=NIL)dfs2(o->ch[0]); 27 if(o->ch[1]!=NIL)dfs2(o->ch[1]); 28 o->size=0,o->ch[0]=o->ch[1]=NIL,pool[++topa]=o; 29 } 30 inline void insert(node *&o,int l,int r,int pos) 31 { 32 if(o==NIL)o=pool[topa--],o->size=0,o->ch[0]=o->ch[1]=NIL; 33 ++o->size; 34 if(l<r) 35 { 36 int mi=l+r>>1; 37 if(pos<=mi)insert(o->ch[0],l,mi,pos); 38 else insert(o->ch[1],mi+1,r,pos); 39 } 40 } 41 inline void del(node *&o,int l,int r,int pos) 42 { 43 --o->size; 44 if(l<r) 45 { 46 int mi=l+r>>1; 47 if(pos<=mi)del(o->ch[0],l,mi,pos); 48 else del(o->ch[1],mi+1,r,pos); 49 } 50 if(o->size==0) 51 pool[++topa]=o,o=NIL; 52 } 53 inline int get_ans(int l,int r,int k) 54 { 55 if(l==r)return l; 56 register int i,sum=0,mi=l+r>>1; 57 for(i=1;i<=cnta;++i) 58 sum+=stacka[i]->ch[0]->size; 59 for(i=1;i<=cntb;++i) 60 sum-=stackb[i]->ch[0]->size; 61 if(sum>=k) 62 { 63 for(i=1;i<=cnta;++i)stacka[i]=stacka[i]->ch[0]; 64 for(i=1;i<=cntb;++i)stackb[i]=stackb[i]->ch[0]; 65 return get_ans(l,mi,k); 66 } 67 else 68 { 69 for(i=1;i<=cnta;++i)stacka[i]=stacka[i]->ch[1]; 70 for(i=1;i<=cntb;++i)stackb[i]=stackb[i]->ch[1]; 71 return get_ans(mi+1,r,k-sum); 72 } 73 } 74 #define alpha 0.755 75 struct Goat 76 { 77 Goat *ch[2];node *tree; 78 int size,val; 79 inline bool bad() 80 {return ch[0]->size>=size*alpha+5 ||ch[1]->size>=size*alpha+5;} 81 inline void update() 82 {size=ch[0]->size+1+ch[1]->size;} 83 }*root,*null,memGoat[(N<<2)+10],*poolGoat[(N<<2)+10],*stackc[(N<<2)+10]; 84 inline Goat** insert(Goat *&o,int pos,int val) 85 { 86 int to=(o->ch[0]->size+1 < pos)?1:0; 87 ++o->size,insert(o->tree,0,MAXN,val); 88 if(o->ch[to]==null) 89 { 90 o->ch[to]=poolGoat[topb--]; 91 o->ch[to]->ch[0]=o->ch[to]->ch[1]=null; 92 o->ch[to]->val=val; 93 o->ch[to]->size=1; 94 o->ch[to]->tree=NIL; 95 insert(o->ch[to]->tree,0,MAXN,val); 96 return &null; 97 } 98 Goat **ret=insert(o->ch[to],pos-(o->ch[0]->size+1)*to,val); 99 if(o->bad())ret=&o; 100 return ret; 101 } 102 inline int change(Goat *o,int pos,int val) 103 { 104 insert(o->tree,0,MAXN,val); 105 if(o->ch[0]->size+1==pos) 106 { 107 int ret=o->val; 108 del(o->tree,0,MAXN,o->val),o->val=val; 109 return ret; 110 } 111 int ret; 112 if(o->ch[0]->size >= pos)ret=change(o->ch[0],pos,val); 113 else ret=change(o->ch[1],pos-o->ch[0]->size-1,val); 114 del(o->tree,0,MAXN,ret);return ret; 115 } 116 inline void get_l(Goat *o,int l) 117 { 118 if(o==null)return; 119 if(o->ch[0]->size>=l) 120 { 121 stacka[++cnta]=o->tree,stackb[++cntb]=o->ch[0]->tree, 122 get_l(o->ch[0],l); 123 } 124 else if(o->ch[0]->size+1==l) 125 { 126 stacka[++cnta]=o->tree,stackb[++cntb]=o->ch[0]->tree; 127 } 128 else 129 get_l(o->ch[1],l-o->ch[0]->size-1); 130 } 131 inline void get_r(Goat *o,int r) 132 { 133 if(o==null)return; 134 if(o->ch[0]->size>=r) 135 get_r(o->ch[0],r); 136 else if(o->ch[0]->size+1==r) 137 { 138 stacka[++cnta]=o->tree,stackb[++cntb]=o->ch[1]->tree; 139 } 140 else 141 { 142 stacka[++cnta]=o->tree,stackb[++cntb]=o->ch[1]->tree; 143 get_r(o->ch[1],r-o->ch[0]->size-1); 144 } 145 } 146 inline void dfs(Goat *o) 147 { 148 if(o==null)return; 149 if(o->ch[0]!=null)dfs(o->ch[0]); 150 stackc[++top]=o,dfs2(o->tree); 151 if(o->ch[1]!=null)dfs(o->ch[1]); 152 } 153 inline void onboard(Goat *o,node *&x) 154 { 155 if(o==null)return; 156 if(o->ch[0]!=null)onboard(o->ch[0],x); 157 insert(x,0,MAXN,o->val); 158 if(o->ch[1]!=null)onboard(o->ch[1],x); 159 } 160 inline Goat* build(int l,int r) 161 { 162 if(l>r)return null; 163 int mi=l+r>>1; 164 stackc[mi]->size=r-l+1; 165 stackc[mi]->ch[0]=build(l,mi-1),stackc[mi]->ch[1]=build(mi+1,r); 166 stackc[mi]->tree=pool[topa--];stackc[mi]->tree->size=0; 167 stackc[mi]->tree->ch[0]=stackc[mi]->tree->ch[1]=NIL; 168 onboard(stackc[mi]->ch[0],stackc[mi]->tree); 169 onboard(stackc[mi]->ch[1],stackc[mi]->tree); 170 insert(stackc[mi]->tree,0,MAXN,stackc[mi]->val); 171 return stackc[mi]; 172 } 173 inline void rebuild(Goat *&o) 174 { 175 top=0;dfs(o); 176 o=build(1,top); 177 } 178 inline void intn() 179 { 180 NIL->ch[0]=NIL->ch[1]=NIL;NIL->size=0; 181 null=new Goat();null->tree=NIL; 182 null->size=null->val=0; 183 null->ch[0]=null->ch[1]=null; 184 topa=topb=0; 185 for(topa=0;topa<(N<<8);++topa) 186 pool[topa]=mem+topa,pool[topa]->size=0, 187 pool[topa]->ch[0]=pool[topa]->ch[1]=NIL; 188 for(topb=0;topb<(N<<2);++topb) 189 poolGoat[topb]=memGoat+topb,poolGoat[topb]->size=0, 190 poolGoat[topb]->ch[0]=poolGoat[topb]->ch[1]=null; 191 topa=(N<<8)-1,topb=(N<<2)-1; 192 for(int i=1;i<=n;++i) 193 stackc[i]=poolGoat[topb--],stackc[i]->val=a[i]; 194 root=build(1,n); 195 } 196 int main() 197 { 198 register int i,j,q,ans=0,l,r,x;char opt;Goat **p7; 199 n=read();for(i=1;i<=n;++i)a[i]=read(); 200 intn(),q=read(); 201 for(i=1;i<=q;++i) 202 { 203 opt=readc(); 204 switch(opt) 205 { 206 case 'Q': 207 l=read()^ans,r=read()^ans,x=read()^ans; 208 cnta=cntb=0,get_l(root,l),get_r(root,r); 209 stackb[++cntb]=root->tree; 210 printf("%d ",(ans=get_ans(0,MAXN,x)) ); 211 break; 212 case 'M': 213 l=read()^ans,x=read()^ans; 214 change(root,l,x); 215 break; 216 case 'I': 217 l=read()^ans,x=read()^ans; 218 p7=insert(root,l,x); 219 if(*p7!=null)rebuild(*p7); 220 break; 221 } 222 } 223 }
bzoj3217 ALOEXT（替罪羊套Trie树，和上面类似）
（还没打……明天补坑）
*PS:替罪羊树的思想是很好的，这种重建的思想可以优化很多题目的复杂度。
四.树套树在DP题目中的运用
有一些DP题目的转移会涉及到多维的取值关系，因此我们可以用树套树处理这类题目
我们依然用一种数据结构维护一维，在最内层的数据结构中维护对应的DP有关变量。
当然CDQ也可以干这事啦！
这种类型的题目有：
bzoj4553 序列
1 #include <cstdio> 2 #include <cstdlib> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 const int N=300000; 7 int n,m,bit[N+100],f[N+100]; 8 struct num{int val,maxv,minv;}x[N+100]; 9 struct cdq{int x,y,id;}a[N+100]; 10 inline int lowbit(int a){return a&(-a);} 11 inline bool mt(const cdq &a,const cdq &b) 12 {return (a.x==b.x)?a.id<b.id:a.x<b.x;} 13 inline void add(int i,int val) 14 { 15 while(i<=N) 16 { 17 bit[i]=(val==0)?0:max(bit[i],val); 18 i+=lowbit(i); 19 } 20 } 21 inline int sum(int i) 22 { 23 int ret=0; 24 while(i) 25 ret=max(ret,bit[i]),i-=lowbit(i); 26 return ret; 27 } 28 void cdq(int l,int r) 29 { 30 if(l==r){f[l]=max(f[l],1);return;} 31 int mi=(l+r)>>1; 32 cdq(l,mi); 33 for(int i=l;i<=r;i++) 34 { 35 if(i<=mi)a[i].x=x[i].val,a[i].y=x[i].maxv; 36 else a[i].x=x[i].minv,a[i].y=x[i].val; 37 a[i].id=i; 38 } 39 sort(a+l,a+r+1,mt); 40 for(int i=l;i<=r;i++) 41 { 42 if(a[i].id<=mi)add(a[i].y,f[a[i].id]); 43 else f[a[i].id]=max(sum(a[i].y)+1,f[a[i].id]); 44 } 45 for(int i=l;i<=r;i++)add(a[i].y,0); 46 cdq(mi+1,r); 47 } 48 int main() 49 { 50 scanf("%d%d",&n,&m);int u,v,ans=0; 51 for(int i=1;i<=n;i++) 52 scanf("%d",&x[i].val),x[i].minv=x[i].maxv=x[i].val; 53 while(m--) 54 { 55 scanf("%d%d",&u,&v); 56 x[u].maxv=max(x[u].maxv,v); 57 x[u].minv=min(x[u].minv,v); 58 } 59 cdq(1,n); 60 for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]); 61 printf("%d ",ans); 62 }
bzoj2244 拦截导弹
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 #include <iostream> 5 using namespace std; 6 const int N=50010; 7 int n,toth,totv,st[N],top,f[2][N]; 8 struct node 9 { 10 int h,v,tim; 11 inline void read(){scanf("%d%d",&h,&v);} 12 }m[N]; 13 inline bool mt1(const node &a,const node &b) 14 { 15 if(a.v==b.v&&a.h==b.h)return a.tim<b.tim; 16 return a.h==b.h?a.v<b.v:a.h<b.h; 17 } 18 inline bool mt2(const node &a,const node &b) 19 {return a.tim<b.tim;} 20 int bit[N]; 21 double cnt[N],g[2][N],ans[N]; 22 inline int lowbit(int a){return a&-a;} 23 inline void add(int a,int b,double c) 24 { 25 while(a<=totv) 26 { 27 if(bit[a]<b)bit[a]=b,cnt[a]=c; 28 else if(bit[a]==b)cnt[a]+=c; 29 a+=lowbit(a); 30 } 31 } 32 inline void query(int a,int &b,double &c) 33 { 34 b=0,c=0.0; 35 while(a) 36 { 37 if(bit[a]>b)b=bit[a],c=cnt[a]; 38 else if(bit[a]==b)c+=cnt[a]; 39 a-=lowbit(a); 40 } 41 } 42 inline void clear(int a) 43 { 44 while(a<=totv) 45 { 46 if(!bit[a])return; 47 bit[a]=0,cnt[a]=0.0,a+=lowbit(a); 48 } 49 } 50 inline void CDQ(int l,int r,int o) 51 { 52 if(l==r)return; 53 register int i,mi=l+r>>1; 54 CDQ(l,mi,o); 55 sort(m+l,m+r+1,mt1); 56 int x=0;double u=0.0; 57 for(i=l;i<=r;++i) 58 { 59 if(m[i].tim<=mi) 60 add(m[i].v,f[o][m[i].tim],g[o][m[i].tim]); 61 else 62 { 63 query(m[i].v,x,u); 64 if(x+1>f[o][m[i].tim]) 65 f[o][m[i].tim]=x+1,g[o][m[i].tim]=u; 66 else if(x+1==f[o][m[i].tim]) 67 g[o][m[i].tim]+=u; 68 } 69 } 70 for(i=l;i<=r;++i) 71 if(m[i].tim<=mi)clear(m[i].v); 72 sort(m+l,m+r+1,mt2); 73 CDQ(mi+1,r,o); 74 } 75 inline void intn() 76 { 77 register int i; 78 for(i=1;i<=n;++i)st[i]=m[i].h; 79 sort(st+1,st+n+1),toth=unique(st+1,st+n+1)-st-1; 80 for(i=1;i<=n;++i) 81 m[i].h=lower_bound(st+1,st+toth+1,m[i].h)-st; 82 for(i=1;i<=n;++i)st[i]=m[i].v; 83 sort(st+1,st+n+1),totv=unique(st+1,st+n+1)-st-1; 84 for(i=1;i<=n;++i) 85 m[i].v=lower_bound(st+1,st+totv+1,m[i].v)-st; 86 } 87 int main() 88 { 89 register int i,j;scanf("%d",&n); 90 for(i=n;i;--i)m[i].read(); 91 intn(); 92 for(i=1;i<=n;++i) 93 m[i].tim=i,f[0][i]=f[1][i]=g[0][i]=g[1][i]=1; 94 CDQ(1,n,0); 95 reverse(m+1,m+n+1); 96 for(i=1;i<=n;++i) 97 m[i].tim=i,m[i].h=toth-m[i].h+1,m[i].v=totv-m[i].v+1; 98 CDQ(1,n,1); 99 int maxn=0;double sum=0; 100 for(i=1;i<=n;++i) 101 { 102 if(maxn<f[0][i])maxn=f[0][i],sum=g[0][i]; 103 else if(f[0][i]==maxn)sum+=g[0][i]; 104 } 105 printf("%d ",maxn); 106 for(i=1;i<=n;++i) 107 { 108 if(f[0][n-i+1]+f[1][i]-1==maxn) 109 ans[i]=g[0][n-i+1]*g[1][i]/sum; 110 else ans[i]=0.0; 111 } 112 for(i=1;i<n;++i)printf("%.5lf ",ans[i]); 113 printf("%.5lf",ans[n]); 114 }
（我这两道都是拿CDQ打的2333）
五.总结
树套树是我们用来维护多维数据信息的有效工具，可以处理多维信息的复杂问题
当然，在可以离线的情况下，整体二分/CDQ或许会更加优秀，我们要根据具体情况选择方法解决。
以上。