矩阵化一维

矩阵化一维

  前缀和思想：

for(ri i=1;i<=n;i++)
    for(ri j=1;j<=m;j++)
    {
        scanf("%lld",&arr[i][j]);
        arr[i][j]=arr[i-1][j]+arr[i][j-1]-arr[i-1][j-1]+arr[i][j];
    }

应用：

  题目：

小 F 很喜欢数学，但是到了高中以后数学总是考不好。

有一天，他在数学课上发起了呆；他想起了过去的一年。一年前，当他初识算法竞赛的 时候，觉得整个世界都焕然一新。这世界上怎么会有这么多奇妙的东西？曾经自己觉得难以 解决的问题，被一个又一个算法轻松解决。

小 F 当时暗自觉得，与自己的幼稚相比起来，还有好多要学习的呢。

一年过去了，想想都还有点恍惚。

他至今还能记得，某天晚上听着入阵曲，激动地睡不着觉，写题写到鸡鸣时分都兴奋不 已。也许，这就是热血吧。



也就是在那个时候，小 F 学会了矩阵乘法。让两个矩阵乘几次就能算出斐波那契数列的 第 10^{100}10 
100
  项，真是奇妙无比呢。

不过，小 F 现在可不想手算矩阵乘法——他觉得好麻烦。取而代之的，是一个简单的小 问题。他写写画画，画出了一个 n 	imes mn×m 的矩阵，每个格子里都有一个不超过 kk 的正整数。

小 F 想问问你，这个矩阵里有多少个不同的子矩形中的数字之和是 kk 的倍数？ 如果把一个子矩形用它的左上角和右下角描述为 (x_1,y_1,x_2,y_2)(x 
1
​     ,y 
1
​     ,x 
2
​     ,y 
2
​     )，其中x_1 le x_2,y_1 le y_2x 
1
​     ≤x 
2
​     ,y 
1
​     ≤y 
2
​     ； 那么，我们认为两个子矩形是不同的，当且仅当他们以 (x_1,y_1,x_2,y_2)(x 
1
​     ,y 
1
​     ,x 
2
​     ,y 
2
​     ) 表示时不同；也就是 说，只要两个矩形以 (x_1,y_1,x_2,y_2)(x 
1
​     ,y 
1
​     ,x 
2
​     ,y 
2
​     ) 表示时相同，就认为这两个矩形是同一个矩形，你应该 在你的答案里只算一次。

输入格式

从标准输入中读入数据。

输入第一行，包含三个正整数 n,m,kn,m,k。

输入接下来 nn 行，每行包含 mm 个正整数，第 ii 行第 jj 列表示矩阵中第 ii 行第 jj 列 中所填的正整数 a_{i,j}a 
i,j
​     。

输出格式

输出到标准输出中。

输入一行一个非负整数，表示你的答案。

输入输出样例

输入 #1 复制
2 3 2 
1 2 1 
2 1 2
输出 #1 复制
6 

  代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 10005;
const int N = 100005;
#define ri register int
int n,m,mod;
long long ans,arr[520][520],num[1000001],a[520];
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
    for(ri i=1;i<=n;i++)
    for(ri j=1;j<=m;j++)
    {
        scanf("%lld",&arr[i][j]);
        arr[i][j]=arr[i-1][j]+arr[i][j-1]-arr[i-1][j-1]+arr[i][j];
    }
    for(ri i=0;i<n;i++)
    for(ri j=i+1;j<=n;j++)
    {
          num[0]=1;
       for(ri k=1;k<=m;k++)
       {
              a[k]=(arr[j][k]-arr[i][k]+(mod<<1))%mod;
              ans+=num[a[k]];
               num[a[k]]++;
       }
       for(ri k=1;k<=m;k++)
       { 
          num[a[k]]=0;
       }
    }
    printf("%lld
",ans);
}

  6