[POJ3734]Blocks

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POJ3734

因为不同的排列算不同的方案，所以要用到指数生成函数。

有偶数个的颜色生成函数为：(sum_{i=2j,jinmathbb{N}}limits frac{x^i}{i!})

随意个数的颜色生成函数则为(sum_{i=0}^inftylimits frac{x^i}{i!})

那么乘起来：

[(sum_{i=2j,jinmathbb{N}}frac{x^i}{i!})^2(sum_{i=0}^infty frac{x^i}{i!})^2 ]

后者即为(e^{2x})

然后是对前一项的推导：

(e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}+cdots)

(e^{-x}=1-x+frac{x^2}{2!}-frac{x^3}{3!}+frac{x^4}{4!}-cdots)

那么有(e_x+e^{-x}=2(sum_{i=2j,jinmathbb{N}}limits frac{x^i}{i!}))

所以最终整个题目的生成函数为：((frac{e^x+e^{-x}}{2})^2e^{2x})

化简得(frac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4})

常数项忽略，(e^{kx})的(n)次项系数为(frac{k^n}{n!})

代入得(frac{4^n+2^{n+1}}{4n!})

将(n!)乘回去，最终有(frac{4^n+2^{n+1}}{4}=4^{n-1}+2^{n-1})

快速幂即可。

时间复杂度 (O(Tlog_2n))

代码：

#include <cstdio>
typedef long long ll;

int t,n;
const int Mod=10007;

int Pow(int a,int b)
{
	int Res=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%Mod)
		if(b&1)Res=Res*a%Mod;
	return Res%Mod;
}

int main()
{
	for(scanf("%d",&t);t--;)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%d
",(Pow(4,n-1)+Pow(2,n-1))%Mod);
	}
	return 0;
}