很迷的一道题,你得有强硬的数学基础以及贼强的判断力才行;
题解来自黄学长博客QAQ
Description
求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2),在圆周上有多少个点的坐标是整数。
Input
r
Output
整点个数
Sample Input
Sample Output
HINT
n<=2000 000 000
题解
以下来自http://blog.csdn.net/csyzcyj/article/details/10044629
【分析】:
样例图示:
首先,最暴力的算法显而易见:枚举x轴上的每个点,带入圆的方程,检查是否算出的值是否为整点,这样的枚举量为2*N,显然过不了全点。
然后想数学方法。
有了上面的推理,那么实现的方法为:
枚举d∈[1,sqrt(2R)],然后根据上述推理可知:必先判d是否为2R的一约数。
此时d为2R的约数有两种情况:d=d或d=2R/d。
第一种情况:d=2R/d。枚举a∈[1,sqrt(2R/2d)] <由2*a*a < 2*R/d转变来>,算出对应的b=sqrt(2R/d-a^2),检查是否此时的A,B满足:A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>,若是就将答案加1
第二种情况:d=d。枚举a∈[1,sqrt(d/2)] <由2*a*a < d转变来>,算出对应的b=sqrt(d-a^2),检查是否此时的A,B满足:A≠B且A,B互质 <根据上面的推理可知必需满足此条件>,若是就将答案加1
因为这样只算出了第一象限的情况<上面枚举时均是从1开始枚举>,根据圆的对称性,其他象限的整点数与第一象限中的整点数相同,最后,在象限轴上的4个整点未算,加上即可,那么最后答案为ans=4*第一象限整点数+4
【时间复杂度分析】:
枚举d:O(sqrt(2R)),然后两次枚举a:O(sqrt(d/2))+O(sqrt(R/d)),求最大公约数:O(logN)
中心思想:把枚举的范围缩小;
#include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; long long gcd(long long x,long long y){return x%y==0 ? y : gcd(y,x%y);} int check(long long y,double x) { if(x==floor(x))//判断整点 { long long x1=(long long)floor(x);//x1*x1必定是大于y*y的; if(gcd(x1*x1,y*y)==1 && x1*x1!=y*y)//gcd(A,B)=1并且A!=B return 1; } return 0; } long long ans=0; int main() { long long r; cin>>r; for(long long d=1;d*d<=r*2;d++) { if((2*r)%d==0) { for(long long a=1;a*a<=2*r/(2*d);a++) { double b=sqrt(1.0*2*r/d-a*a); ans+=check(a,b); } if(2*r/d!=d) { for(long long a=1;a*a<=d/2;a++) { double b=sqrt(1.0*d-a*a); ans+=check(a,b); } } } } cout<<ans*4+4<<endl; return 0; }