最长公共子序列
本文从三个层次分析最大公共子序列
- 最大公共子序列长度
- 最大公共子序列
- 算法分析
首先来个区别：单词"cnblogs"
- 子序列：从单词中抽取字符，不能保证连续抽取。如”cn"、“cns"、”bgs"
- 连续子序列：从单词中连续抽取字符。如“bolog"、”cnbl"
最长公共子序列（LCS：Longest Common Subsequence）顾名思义，就是几个词语中最长的相同子序列。比如“cnblogs"和”belong"最大公共子序列是“blog"
最长公共子序列是个非常有用的算法，可以判断两段文字间的”雷同程度“，从而可以判别抄袭。下面先介绍几种找出最长公共子序列长度的算法：
最大公共子序列长度
1.暴力算法
对于含有n个字符一个句子，每个位置有两种可能（出现 or 不出现），因此总共有2*2*2....总共2^n-1个（排除空序列）序列。这样找出来知道，在和另一个句子中的子序列意义比较（为了少算点可以只比角长度相同的）。
显然，这种方法也太暴力了，指数增长，一点技术含量没有。直接舍去了。
2.递归算法
把一个大问题看成几个已经解决了的子问题的综合。
两个字符串，分别是stra和strb。如果对应长度是lena和lenb。那么就是求解LCS(lena, lenb)。此时先比较stra[lena-1]和strb[lenb-1](字符串是从0开始计数的)。
- 如果相同则等于LCS(lena-1,lenb-1)+1,此时LCS(lena-1,lenb-1)不知道，接着递归
- 如果不同则比较LCS(lena-2,lenb-1)和LCS(lena-1,lenb-2)，前者大，就等于前者；后者大，后者。中间步骤不知道，接着递归
- 如果递归到了LCS()中的一个数为-1了那就相当于存在空串了，公共的长度肯定是0了。
参考程序:
#include <stdio.h> #include <string.h> int LCS(int m, int n); char a[100]; char b[100]; int main() { strcpy(a, "cnblogs"); strcpy(b, "belong"); int lena = strlen(a); int lenb = strlen(b); printf("LCS:%d\n", LCS(lena-1, lenb-1)); return 0; } int LCS(int m, int n) { if(m==-1 || n==-1) return 0; else if(a[m] == b[n]) return 1 + LCS(m-1, n-1); else return LCS(m-1, n) > LCS(m, n-1) ? LCS(m-1, n):LCS(m, n-1); }
3.动态规划
和递归算法的大化小问题思路不同，动态规划是把一个问题转化成一些列的单阶段问题。
在利用动态规划找出最长公共子序列时，目标是求LCR(lena,lenb)，我们把任意两点的LCR求出来，此时要用二位数组表示。
基本原理公式还是那样：
此时注意，字符串计数是从0开始的，现在用二维数组表示，就不能像上面一样出现-1了，现在用二维数组表示个数时，从1开始，即LCR[m][n]，表示stra[m-1]和strb[n-1]之间的最大子序列长度。
现在用具体的例子阐明动态规划的过程：
stra = "cnblogs"
strb = "belong"
- LCR[m][0]=0(表示：str[m-1] 和”空“间的关系)；同理LCR[0][n]=0
- LCR[1][1]:先看stra[0]和strb[0]间想不相同（'c'和‘b'不相同），就比较LCR[1][0] 和LCR[1][0]都为0，那么LCR[1][1]为0；
- 一直这样做下去......
参考程序：
#include <stdio.h> #include <string.h> char stra[100], strb[100]; int lena, lenb; int matrix[100][100]; void LCS(); int main() { strcpy(stra, "cnblogs"); strcpy(strb, "belong"); lena = strlen(stra); lenb = strlen(strb); memset(matrix, 0, sizeof(matrix)); LCS(); return 0; } void LCS() { int i=0, j=0; for(i=0; i<lena; i++) { for(j=0; j<lenb; j++) { if(stra[i] == strb[j]) { matrix[i+1][j+1] = matrix[i][j] + 1; } else { if(matrix[i+1][j] >= matrix[i][j+1]) { matrix[i+1][j+1] = matrix[i+1][j]; } else { matrix[i+1][j+1] = matrix[i][j+1]; } } } } printf("LCS:%d\n", matrix[lena][lenb]); }
最大公共子序列
有了最长公共子序列长度核心公式，求个长度还是很容易的，现在要求出具体的最大公共子序列。暴力算法是理论上是可以求出来的，但是过于繁琐与低效，弃了。动态规划与递归思路是一样的。
动态规划
这样标记：
- 当stra[i] == strb[j]时，标斜向上的箭头（记值为0）
- 当LCR[i+1][j]≥LCR[i][j+1]时，标向左箭头（记值为1）
- 当LCR[i+1][j]<LCR[i][j+1]时，标向上箭头（记值为-1）
寻找子序列:
- 见0记下， i--, j--
- 见1左拐，j--
- 见-1上拐，i--
图示说明：
参考算法：
#include <stdio.h> #include <string.h> char stra[100], strb[100]; int lena, lenb; int matrix[100][100]; int tag[100][100]; void LCS(); void getLCS(); int main() { strcpy(stra, "cnblogs"); strcpy(strb, "belong"); lena = strlen(stra); lenb = strlen(strb); memset(matrix, 0, sizeof(matrix)); LCS(); getLCS(); return 0; } void LCS() { int i=0, j=0; for(i=0; i<lena; i++) { for(j=0; j<lenb; j++) { if(stra[i] == strb[j]) { matrix[i+1][j+1] = matrix[i][j] + 1; tag[i+1][j+1] = 0; } else { if(matrix[i+1][j] >= matrix[i][j+1]) { matrix[i+1][j+1] = matrix[i+1][j]; tag[i+1][j+1] = 1; } else { matrix[i+1][j+1] = matrix[i][j+1]; tag[i+1][j+1] = -1; } } } } //输出次数矩阵 for (i=1; i<=lena; i++) { for (j=1; j<=lenb; j++) printf("%d ", matrix[i][j]); printf("\n"); } printf("****************\n"); //输出方向转移矩阵 for (i=1; i<=lena; i++) { for (j=1; j<=lenb; j++) printf("%d ", tag[i][j]); printf("\n"); } printf("LCS:%d\n", matrix[lena][lenb]); } void getLCS() { int i = lena, j = lenb, sum=0; char seq[100]; while(i != 0 && j != 0) { if(tag[i][j] == 0) { seq[sum] = stra[i-1]; i--; j--; sum++; } else if(tag[i][j] == 1) j--; else i--; } for(i=sum-1; i>=0; i--) printf("%c ", seq[i]); }
递归算法
递归算法输出矩阵的思路与动态规划思路完全一致，就是在递归过程中标记，再回溯即可。
参考代码：
#include <stdio.h> #include <string.h> int LCS(int m, int n); void getLCS(); char stra[100], strb[100]; int lena, lenb; int tag[100][100]; char seq[100]; int main() { int i, j; memset(tag, 0, sizeof(tag)); strcpy(stra, "cnblogs"); strcpy(strb, "belong"); lena = strlen(stra); lenb = strlen(strb); printf("LCS:%d\n", LCS(lena-1, lenb-1)); getLCS(); for(i=0; i<=lena; i++) { for(j=0; j<=lenb; j++) printf("%d ", tag[i][j]); printf("\n"); } return 0; } int LCS(int m, int n) { if(m==-1 || n==-1) { return 0; } else if(stra[m] == strb[n]) { tag[m+1][n+1] = 1; return 1 + LCS(m-1, n-1); } else { if(LCS(m, n-1) > LCS(m-1, n)) { tag[m+1][n+1] = 2; return LCS(m, n-1); } else { tag[m+1][n+1] = 3; return LCS(m-1, n); } } } void getLCS() { int i = lena, j = lenb, sum=0; while(i != 0 && j != 0) { if(tag[i][j] == 1) { seq[sum] = stra[i-1]; i--; j--; sum++; } else if(tag[i][j] == 2) j--; else i--; } printf("The lCS is:"); for(i=sum-1; i>=0; i--) printf("%c ", seq[i]); printf("\n"); }
算法分析
m表示第一个字串长度，n表示第二个字串长度。
动态规划
时间复杂度：
- 建立矩阵需要，需要花费时间o(mn)
- 回溯需要至多花费时间o(m+n)
综上，两者相加，时间复杂度为o(mn)
空间复杂度：
- 构建矩阵需要空间o(mn)
- 构建标记矩阵需要空间o(mn)
综上，二者相加，空间复杂度为o(mn)