Codeforces 577B Modulo Sum：数学 结论【选数之和为m的倍数】

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/448/C

题意：

　　给你n个数字，给定m。

　　问你是否能从中选出若干个数字，使得这些数字之和为m的倍数。

题解：

　　其实就是要找一些数字，使得之和mod m为0。

　　开一个vector，存当前已经能够构成的数字之和mod m之后的值。

　　一开始vector为空，然后枚举n个数字a[i]，对于每个数字枚举当前vector中的值v[i]，将没有出现过的(a[i]+v[i])%m值加入vector中。

　　最后判断下vector中有没有0就好。

　　然而直接做是O(nm)的过不了。

　　这时候就有一个结论：

　　　　当n>m时，一定能够找出一些数字，使得它们之和mod m为0。

　　证明：

　　　　令sum[i]为数字a[1 to i]的和mod m后的值。

　　　　显然，一定有一对(i,j)使得sum[i]==sum[j] (i<j)。

　　　　所以有∑ a[i+1 to j] mod m == 0。得证。

　　这样当n>m的时候特判一下直接输出，否则再跑上面的做法。

　　这样复杂度就成O(m^2)的了。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <vector>
#define MAX_M 1005

using namespace std;

int n,m;
int vis[MAX_M];
vector<int> v;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    if(n>m)
    {
        cout<<"YES"<<endl;
        return 0;
    }
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x;
        x%=m;
        for(int j=0,t=v.size();j<t;j++)
        {
            int now=(v[j]+x)%m;
            if(!vis[now])
            {
                v.push_back(now);
                vis[now]=true;
            }
        }
        if(!vis[x])
        {
            v.push_back(x);
            vis[x]=true;
        }
    }
    if(vis[0]) cout<<"YES"<<endl;
    else cout<<"NO"<<endl;
}