隐式曲线曲面与梯度、三角形与重心坐标

目前的图形学研究都绕不开几何图元，其中个人学习中比较难以理解的是隐式曲线和曲面，与之对应的偏导、梯度等几何信息，以及与模型表示最为密切的三角形，因此写下此篇总结，供复习回顾。

隐式曲线曲面

2D曲线最符合直觉的定义可以是：在一张纸上一笔所画出的一条线，而这条线可以表示为一系列点的集合。对于一般情形，用一个方程可以描述任意二维实曲线：

[f(x,y)=0 ]

由于这条曲线是在方程中隐式定义的，因此也称为隐式曲线。

常见的隐式曲线有：

隐式直线：

[Ax+By+C=0 ]

隐式二次曲线：

[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 ]

如隐式椭圆：

[f( extbf{p})={(x-x_c)^2over a^2}+{(y-y_c)^2over b^2}-1=0 ]

3D隐式曲面与2D隐式曲线类似，可用隐函数

[f(x,y,z)=0 ]

定义3D隐式曲面，解集即为曲面上所有点的集合，我们可以通过隐函数判断点是否在面上，但大多数时候我们无法显化其表达式，即无法显式构造位于面上的点。

为方便表示，记 ( extbf{p}=(x,y,z)) ，则

[f( extbf{p})=0 ]

常见的隐式曲面：

隐式平面：已知平面包含点 (a) ，且法向量为 ( extbf{n}) ，则平面方程为

[(p-a)cdot extbf{n}=0 ]

3D隐式二次曲面如椭球面：

[f( extbf{p})={(x-x_c)^2over a^2}+{(y-y_c)^2over b^2}+{(z-z_c)^2over c^2}-1=0 ]

由方程组定义的3D隐式曲线 (曲面的交线)：

[left{ egin{aligned} f( extbf{p})&=0\ g( extbf{p})&=0 end{aligned} ight. ]

梯度

梯度是一个重要的度量，在几何领域，除了用梯度描述变化之外，梯度还经常用于求法线等操作。

对于一维的情况，我们可以用极限定义导数为切线斜率。而一个二维函数并不能做类似一维情况下的极限运算，因为对于给定的 (x) ，(f) 的变化方式多种多样，而如果我们把 (y) 视为常数，则可以定义一个类似导数概念，这就是偏导数 (Partial Derivatives)：

[{partial foverpartial x}=lim_{Delta x ightarrow0}{f(x+Delta x,y)-f(x,y)overDelta x} ]

如果把函数值当成第三维，那么可以表示为一个高度场，此时 ((x,y,f(x,y))) 是一个三维表面。在 (xOy) 平面上任意指定一个方向，我们都可以定义一个该表面的导数，该导数值是沿这样一个方向的导数，这个方向在 (xOy) 平面的投影为我们所指定的方向，这就是方向导数 (Directional Derivatives)。对应回二维的情况，这里实质上是对导数做了推广。对 (x)求导，实际上是求沿 (x)​ 方向的函数变化率，既然是对方向求导，自然可以推广到沿任意方向求导，也就是方向导数。 (但其实有细微区别，通常讨论的可求导或偏导，指的是沿轴向双向均可导且导数值均相同)

设 (l)​ 是 (xOy) 平面上以 (P_0(x_0,y_0)) 为始点的一条射线， (e_l=(cosalpha,coseta)) 是与 (l) 同方向的单位向量 (方向余弦表示)，射线 (l)​ 的参数方程为

[left{ egin{aligned} x&=x_0+tcosalpha\ y&=y_0+tcoseta end{aligned} ight. ]

则方向导数可定义为

[left.{partial foverpartial l} ight|_{(x_0,y_0)}=lim_{t ightarrow0^+}{f(x_0+tcosalpha,y_0+tcoseta)-f(x_0,y_0)over t} ]

在可微条件下，有

[egin{aligned} &f(x_0+Delta x,y_0+Delta y)-f(x_0,y_0)\ =&f_x(x_0,y_0)Delta x+f_y(x_0,y_0)Delta y+oleft(sqrt{(Delta x)^2+(Delta y)^2} ight)\ =&f_x(x_0,y_0)cosalpha+f_y(x_0,y_0)coseta+oleft(t ight) end{aligned} ]

故

[left.{partial foverpartial l} ight|_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)cosalpha+f_y(x_0,y_0)coseta ]

基于方向导数可以定义梯度。梯度 (Gradients)是一个向量，它指示的就是这样一个方向：从当前点出发在曲线上运动时，沿该方向运动，高度爬升得最快，变化率最快，或者说，方向导数最大。可以定义梯度

[mathrm{grad}f(x_0,y_0)= abla f(x_0,y_0)=f_x' extbf{i}+f_y' extbf{j} ]

其中， ( abla={partialoverpartial x} extbf{i}+{partialoverpartial y} extbf{j}) 为向量微分算子Nabla。

根据方向导数的定义可知，

[left.{partial foverpartial l} ight|_{(x_0,y_0)}=(f_x',f_y')cdot e_l=left|mathrm{grad}f(x_0,y_0) ight|cos heta ]

由于射线的方向向量是单位向量，因此最终方向导数可以表示为上式，其中， ( heta)​ 是射线方向向量与梯度方向的夹角。当射线方向与梯度方向相同时，方向导数取得最大值，且最大值为梯度的模。

若取平面 (z=c) 截该高度场，可得一等值线

[left{ egin{aligned} z&=f(x,y)\ z&=c end{aligned} ight. ]

对应隐式曲线 (f(x,y)=c)​ ，改写为参数形式

[left{ egin{aligned} x&=x\ y&=y(x) end{aligned} ight. ]

隐函数两边对 (x) 求偏导可得，

[f_x(x,y)=f_x(x,y(x))=f_x'+f_y' y_x'=(f_x',f_y')cdot(1,y_x')=0 ]

对比定义可知，上式点积为0即表明梯度与切向量垂直。

特别地，令 (c=0)​ 即原曲线，也即，曲线法向量可用梯度方法求，且有

[ abla f(x,y)=({partial foverpartial x},{partial foverpartial y}) ]

类似地，3D隐式曲面的法线为

[ extbf{n}= abla f( extbf{p})=left({partial foverpartial x},{partial foverpartial y},{partial foverpartial z} ight) ]

同样地，梯度法所求的法线方向指向的是 (f( extbf{p})>0) 的区域。

参数曲线曲面

有时使用参数方式定义的隐式曲线曲面会更便于计算，同时，参数形式给出了一种构造点的方法。

2D参数曲线通常定义为

[left{ egin{aligned} x&=g(t) \ y&=h(t) end{aligned} ight. ]

如圆

[left{ egin{aligned} x&=Rcos heta\ y&=Rsin heta end{aligned} ight. ]

3D参数曲线通常定义为

[left{ egin{aligned} x&=f(t)\ y&=g(t)\ z&=h(t) end{aligned} ight. ]

如螺线

[left{ egin{aligned} x&=cos t\ y&=sin t\ z&= t end{aligned} ight. ]

3D参数曲面通常定义为

[left{ egin{aligned} x&=f(u,v)\ y&=g(u,v)\ z&=h(u,v) end{aligned} ight. ]

如球面

[left{ egin{aligned} x&=Rcosphisin heta\ y&=Rsinphisin heta\ z&=Rcos heta end{aligned} ight. ]

三角形与重心坐标

三角形是最基本的图元。由于通常我们只拥有给定的三角形的顶点处的信息，在图形计算中，需要插值以生成可平滑覆盖的像素信息。而三角插值依赖最多的是重心坐标。

重心坐标 (Barycentric Coordinates)是一个非标准正交的坐标系，其以三角形的一个顶点为坐标原点，以过该点的两边为坐标轴。在三角形所在平面内的任意一点 ( extbf{p}) 均可表示为

[ extbf{p}= extbf{a}+eta( extbf{b}- extbf{a})+gamma( extbf{c}- extbf{a}) ]

令 (alpha=1-eta-gamma) ，整理得一个对称表达的形式

[ extbf{p}=alpha extbf{a}+eta extbf{b}+gamma extbf{c} ]

则 ((alpha,eta,gamma)) 称为点 ( extbf{p}) 的重心坐标。

利用重心坐标可快速判断点与三角形的位置关系：

• 若坐标分量均位于 ((0,1)) ，则点在三角形内
• 若坐标分量恰有一个为0，且其余两个均位于 ((0,1)) ，则点在三角形上
• 若坐标分量有两个为0，则点与三角形顶点重合
• 除此之外，点在三角形外

由于重心坐标的表达式已给出，则可以得到一个关于坐标的方程组，直接求解即可得到重心坐标。但这种方法没有将其几何意义融入计算。

对于重心坐标的一个理解是：坐标的分量值对应该顶点到其对边的有向比例距离 (Signed Scaled Distance)。

利用之前隐式曲线的知识，对于边 (ac)​ ，设其对应隐函数为 (f(x,y)=0)​ (这里以二维情况讨论，而其结论可以几乎完全推广到三维情况，只需添加一维坐标即可)，而对于函数 (d=kf(x,y))​ ，其表示的正是平面内的点到边 (ac) 有向比例距离，对比重心坐标可知，我们只需要找到一个 (k) ，使得 (kf(x_b,y_b)=1)​ ，因此我们得以计算重心坐标

[eta={f_{ac}(x,y)over f_{ac}(x_b,y_b)} ]

代入两点坐标，以直线的一般式表示则有

[eta={(y_a-y_c)x+(x_c-x_a)y+x_ay_c-x_cy_aover(y_a-y_c)x_b+(x_c-x_a)y_b+x_ay_c-x_cy_a} ]

同理可得 (gamma) 的表达式，再由 (alpha=1-eta-gamma) 即可计算重心坐标。

另一种理解重心坐标的方式是面积法。同样考虑边 (ac) ，以之为底的三角形，以同样的 (eta) 为高时，三角形的面积不变，且当 (eta=1) 时，面积为整个三角形的面积，即

[eta={A_bover A} ]

在允许面积带有方向时，该方法也可以表示面内所有的点。又由叉积可得三角形法线和面积

[ extbf{n}=(b-a) imes(c-a)\ A={1over2}|| extbf{n}|| ]

这个面积并非有向面积，所以并不能直接用于面积法求重心坐标。但可以观察到，当三角形的三个顶点绕序不同时，其有向面积的符号也是不同的。因此我们定义

[ extbf{n}_a=(c-b) imes(p-b) ]

对应由点p、b、c组成的三角形，若p、a均位于bc的一侧，则叉积方向一致，反之则反。又因为所有点均在同一平面内，因此， ( extbf{n}) 和 ( extbf{n}_a) 平行。那么，

[alpha={A_{signed,a}over A_{signed}}={{1over2}|| extbf{n}_{a}||cdot signed( extbf{n}_a)over{1over2}|| extbf{n}||cdot signed( extbf{n})}={|| extbf{n}|| || extbf{n}_{a}||cdot left< extbf{n}, extbf{n}_a ight>over|| extbf{n}|| || extbf{n}||cdot left< extbf{n}, extbf{n} ight>} ={ extbf{n}cdot extbf{n}_aover extbf{n}cdot extbf{n}} ]

推广到3D情况，此时我们假设涉及的点均为三维空间中的点，上述规则仍然成立。

参考

Fundamental of Computer Graphics 4th Edition, Chapter 2.