这次是多项式复合逆和拉格朗日反演以及扩展拉格朗日反演。
对于已知的两个常数项为0的多项式函数(F(x),P(x))，若满足：
[F(P(x))=P(F(x))=x
]
那么称多项式(F(x),P(x))互为复合逆。
对于满足(F(G(x))=G(F(x))=x)的两个多项式求，(G(x))的第(n)项。
[G(x)=sumlimits_{i=1}a_ix^i
]
那么：
[egin{aligned}
G(F(x))&=sumlimits_{i=1}a_iF^i(x)=x\
sumlimits_{i=1}ia_iF^{i-1}(x)F'(x)&=1\
sumlimits_{i=1}ia_iF^{i-n-1}(x)F'(x)&=frac{1}{F^n(x)}\
end{aligned}]
对于复合函数的求导和积分来说有：
[(F^a(x))'=aF^{a-1}(x)F'(x)
]
[int F^a(x)F'(x)=frac{F^{a+1}(x)}{a+1}
]
那接着化式子。
[egin{aligned}
na_nfrac{F'(x)}{F(x)}+sumlimits_{i=1,i
ot =n}frac{i}{n-i}a_i(F^{i-n}(x))'&=frac{1}{F^n(x)}\
[x^{-1}](na_nfrac{F'(x)}{F(x)})&=[x^{-1}]frac{1}{F^n(x)}\
end{aligned}
]
然后你发现：
对于任意的多项式函数(F(x))
都有：$$[x^{-1}]frac{F'(x)}{F(x)}=1$$
那么也就是说：
[a_n=frac{1}{n}[x^{-1}]frac{1}{F^n(x)}=frac{1}{n}[x^{n-1}]left(frac{x}{F(x)}
ight)^n
]
扩展拉格朗日定理也类似。
这里不推了。
给出结论：
对于满足(F(G(x))=G(F(x))=H(x))的两个多项式求，(G(x))的第(n)项。
[a_n=frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)left(frac{x}{F(x)}
ight)^n
]