[HNOI2008]水平可见直线

Luogu

题目描述

给定若干条直线 (都是 (y = Ax + B) 的形式)

求从上往下看所有可以看到的直线，从小往大输出编号

(N le 50000)，(|A|,|B| le 500000)

正解

从上往下看，若干条直线构成的半平面交的部分才是可见的

听说直接做半平面交可以 (O(n log n)) 做，但是我不会

(y = kx + b)，对于一个 (x)，只有最大的那一个 (y) 才可以被看到

换一种形式看这条直线 : (-kx + y = b)

由于 (-k) 和 (b) 是固定的，所以可以先把它看成一个定点 ((-k, b))

对于每一个 (x)，我们要求最大的 (y)

把 (x) 看作是斜率，则 (y) 就是 (y) 轴上的截距

发现对于所有的定点 ((-k, b)) ，只有在(上)凸包的点是有用的

(伪)证明 : 想象一条斜率为 (x) 的直线从上往下去靠，靠到第一个点时 (y) 轴截距最大，这个靠到第一个点肯定是凸包上的点

那直接对点集 ((-k, b)) 求上凸包就完了

(color {DeepSkyBlue} {Code})

我这份代码在 bzoj 上过了，但在 luogu 上过不了，窝佛了

/*
	从上往下看, 若干条直线构成的半平面交的部分是可见的
	y = kx + b
	转化成对偶问题, 求上凸包, 只有凸包上的点才是可见的
	-kx + y = b
	相当于对于不同的 x, 要求最大的 y
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define N 50005

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;
int stk[N];
bool vis[N];

struct vec {
	LL x, y;
	vec (int _x = 0, int _y = 0) { x = _x, y = _y; }
	vec operator + (const vec &t) const { return vec(x + t.x, y + t.y); }
	vec operator - (const vec &t) const { return vec(x - t.x, y - t.y); }
	bool operator < (const vec &rhs) const {
		return x == rhs.x ? y < rhs.y : x < rhs.x;
	}
}a[N];

map<vec, int> id;

inline LL crop(const vec &u, const vec &v) { // 叉积
	return u.x * v.y - v.x * u.y;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1, x, y; i <= n; ++i) {
		scanf("%d%d", &x, &y);
		a[i] = vec(-x, y);
		id[a[i]] = i;
	}
	
	sort(a + 1, a + n + 1, less<vec>());
	
	int top = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		while(top >= 2 && crop(a[i] - a[stk[top - 1]], a[stk[top]] - a[stk[top - 1]]) <= 0)
			--top;
		stk[++top] = i;
	}
	
	for(int i = 1; i <= top; ++i)
		vis[id[a[stk[i]]]] = true;
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
		if(vis[i])
			printf("%d ", i);
	putchar('
');
	return 0;
}