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题目
题目链接：gym102331H。
题意概述
给定一个长度为 (n) 的序列 (a)，有 (q) 次询问，每次询问给定三个参数 (l,r,k)，求出对于区间 ([l,r])，你将其划分为若干个子区间，然后取其中的 (k) 个，最大化取出来的所有元素的和。即：最大 (k) 子段和。
(1leq n,qleq 3.5 imes 10^4)，(|a_i|leq 3.5 imes 10^4)。
题解
寻找函数的性质
如果我们设 (f_{[l,r]}(k)) 表示区间 (l,r) 的最大 (k) 子段和，那么我们不难猜测到 (l,r) 相同时，(f(k)) 是一个上凸函数。
我们考虑证明这一点，即 (f(k)-f(k-1)geq f(k+1)-f(k))。
考虑反证法，设 (exists xinmathbb{N})，满足 (f(x)-f(x-1)<f(x+1)-f(x))。
那么我们考虑在 (x-1,x,x+1) 的时候的选取方案。
- 若取 (x+1) 的时候正子段仍未取完，那么 (f(x)) 比 (f(x-1)) 多取了一个区间 (p(p>0))；(f(x+1)) 比 (f(x)) 多取了一个区间 (q(q>0))。
如果我们认为 (f(x)-f(x-1)<f(x+1)-f(x))，也就是 (p<q)，那么我们不如交换这两个区间，可以使得 (f(x)) 更优。 - 若取 (x-1) 的时候正子段取完了，那么 (f(x)) 比 (f(x-1)) 多取了一个区间 (p(p<0))；(f(x+1)) 比 (f(x)) 多取了一个区间 (q(q<0))。
如果我们认为 (f(x)-f(x-1)<f(x+1)-f(x))，也就是 (p<q)，那么我们不如交换这两个区间，可以使得 (f(x)) 更优。
综上所述，如果选取的方案不满足上凸包的性质，我们总是可以通过调整法将其变成上凸包。
合并凸包——闵可夫斯基和
如果我们求出了区间 ([l,r]) 内的 (f(k))，我们就想要知道这个东西是否支持快速合并，例如 (f_{[l, exttt{mid}]}+f_{[ exttt{mid}+1,r]} o f_{[l,r]})。
答案是可以的。
考虑到 (f(k)) 的凸性，我们不妨使用 闵可夫斯基和 对两个凸包进行合并，时间复杂度为 (Theta(r-l))。
简单做法
通过上面的叙述，我们已经得到了一个简单的做法。
每次询问时，我们在线段树上求出此次询问覆盖的区间，并将所有的凸包合并，然后直接得到 (f(k)) 即为答案。
考虑分析时间复杂度，不难发现，这种做法的单次询问时间复杂度与区间长度有关，我们需要更优秀的做法。
wqs 二分
我们考虑不将区间合并，而是直接在线段树上的 (Theta(log_2n)) 个区间内求解答案。
具体地，我们决定使用 wqs 二分，解除掉选择区间个数的限制，然后各个区间就可以互不干扰的选择，很容易就能求出最优解。通过调整最终的斜率，我们可以得出答案，时间复杂度为 (Theta(qlog^3_2n))。
整体 wqs 二分
我们考虑到，当 (k) 增大时，其对应的 wqs 二分时的斜率也会越大，因此这个二分具有单调性，我们可以将询问对 (k) 排序，然后进行整体二分，常数更小的方法是在线段树上维护一个指针，表示上一次 (kleq x) 的最优位置，然后暴力自增即可。
时间复杂度为 (Theta(qlog_2^2n))。
参考程序
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
#define flush() (fwrite(wbuf,1,wp1,stdout),wp1=0)
#define putchar(c) (wp1==wp2&&(flush(),0),wbuf[wp1++]=c)
static char wbuf[1<<21];int wp1;const int wp2=1<<21;
inline int read(void){
reg bool f=false;
reg char ch=getchar();
reg int res=0;
while(!isdigit(ch))f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(isdigit(ch))res=10*res+(ch^'0'),ch=getchar();
return f?-res:res;
}
inline void writeln(reg int x){
static char buf[32];
reg int p=-1;
if(x<0) x=-x,putchar('-');
if(!x) putchar('0');
else while(x) buf[++p]=(x%10)^'0',x/=10;
while(~p) putchar(buf[p--]);
putchar('
');
return;
}
inline int max(reg int a,reg int b){
return a>b?a:b;
}
const int MAXN=5e4+5;
const int MAXQ=5e4+5;
const ll inf=1e12;
struct querys{
int id,l,r,k,lef,rig;
};
inline bool cmp(const querys& a,const querys& b){
return (a.lef+a.rig)>(b.lef+b.rig);
}
typedef vector<ll> Data;
inline Data max(Data a,Data b){
if(a.size()>b.size()){
for(reg int i=0,siz=b.size();i<siz;++i)
a[i]=max(a[i],b[i]);
return a;
}
else{
for(reg int i=0,siz=a.size();i<siz;++i)
b[i]=max(b[i],a[i]);
return b;
}
}
inline Data operator+(Data a,Data b){
if(!a.size()||!b.size())
return vector<ll>{};
Data res;
res.resize(a.size()+b.size()-1);
res[0]=a[0]+b[0];
reg unsigned int i=1,j=1,k=1;
while(i<a.size()&&j<b.size())
if(a[i]-a[i-1]>b[j]-b[j-1])
res[k++]=b[j-1]+a[i++];
else
res[k++]=a[i-1]+b[j++];
while(i<a.size())
res[k++]=b[j-1]+a[i++];
while(j<b.size())
res[k++]=a[i-1]+b[j++];
return res;
}
inline Data shift(Data a){
if(!a.size())
return vector<ll>{};
else
return vector<ll>(a.begin()+1,a.end());
}
inline void print(Data p){
for(auto x:p)
printf("%lld ",x);
return;
}
int tim;
pair<ll,int> f[2],g[2];
namespace SegmentTree{
#define lson ( (k) << 1 )
#define rson ( (k) << 1 | 1 )
#define mid ( ( (l) + (r) ) >> 1 )
struct Node{
Data dat[2][2];
int t;
unsigned int ptr[2][2];
#define dat(x) unit[(x)].dat
#define t(x) unit[(x)].t
#define ptr(x) unit[(x)].ptr
};
Node unit[MAXN<<2];
inline void pushup(reg int k){
dat(k)[0][0]=max(
max(dat(lson)[0][0]+dat(rson)[0][0],dat(lson)[0][0]+dat(rson)[1][0]),
max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[0][0],max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][0],shift(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][0])))
);
dat(k)[0][1]=max(
max(dat(lson)[0][0]+dat(rson)[0][1],dat(lson)[0][0]+dat(rson)[1][1]),
max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[0][1],max(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][1],shift(dat(lson)[0][1]+dat(rson)[1][1])))
);
dat(k)[1][0]=max(
max(dat(lson)[1][0]+dat(rson)[0][0],dat(lson)[1][0]+dat(rson)[1][0]),
max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[0][0],max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][0],shift(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][0])))
);
dat(k)[1][1]=max(
max(dat(lson)[1][0]+dat(rson)[0][1],dat(lson)[1][0]+dat(rson)[1][1]),
max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[0][1],max(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][1],shift(dat(lson)[1][1]+dat(rson)[1][1])))
);
return;
}
inline void build(reg int k,reg int l,reg int r,reg int a[]){
if(l==r){
dat(k)[0][0]=vector<ll>{0,-inf},dat(k)[1][1]=vector<ll>{-inf,a[l]};
return;
}
build(lson,l,mid,a),build(rson,mid+1,r,a);
pushup(k);
return;
}
inline void query(reg int k,reg int l,reg int r,reg int L,reg int R,reg ll K){
if(t(k)!=tim){
t(k)=tim;
ptr(k)[0][0]=ptr(k)[0][1]=ptr(k)[1][0]=ptr(k)[1][1]=0;
}
if(L<=l&&r<=R){
g[0]=f[0],g[1]=f[1],f[0]=f[1]=make_pair(-inf,0);
for(reg int i=0;i<2;++i)
for(reg int j=0;j<2;++j)
if(dat(k)[i][j].size()){
while(ptr(k)[i][j]<dat(k)[i][j].size()-1&&dat(k)[i][j][ptr(k)[i][j]+1]-dat(k)[i][j][ptr(k)[i][j]]>=K)
++ptr(k)[i][j];
pair<ll,int> p=g[1],v;
if(i&&K>0)
p.first+=K,--p.second;
v=max(g[0],p);
v.first+=dat(k)[i][j][ptr(k)[i][j]]-ptr(k)[i][j]*K,v.second+=ptr(k)[i][j];
f[j]=max(f[j],v);
}
return;
}
if(L<=mid)
query(lson,l,mid,L,R,K);
if(R>mid)
query(rson,mid+1,r,L,R,K);
return;
}
#undef lson
#undef rson
#undef mid
#undef dat
#undef t
#undef ptr
}
int n,q;
int a[MAXN];
querys qu[MAXQ],lef[MAXQ],rig[MAXQ];
int ans[MAXQ];
int main(void){
n=read(),q=read();
for(reg int i=1;i<=n;++i)
a[i]=read();
SegmentTree::build(1,1,n,a);
for(reg int i=1;i<=q;++i)
qu[i].id=i,qu[i].l=read(),qu[i].r=read(),qu[i].k=read(),qu[i].lef=-1e9,qu[i].rig=1e9;
while(true){
reg int cnt=0;
++tim;
sort(qu+1,qu+q+1,cmp);
for(reg int i=1;i<=q;++i)
if(qu[i].lef<=qu[i].rig){
++cnt;
f[0]=make_pair(0,0),f[1]=make_pair(-inf,0);
SegmentTree::query(1,1,n,qu[i].l,qu[i].r,(qu[i].lef+qu[i].rig)>>1);
pair<ll,int> res=max(f[0],f[1]);
if(res.second>=qu[i].k)
ans[qu[i].id]=res.first+qu[i].k*((qu[i].lef+qu[i].rig)>>1),qu[i].lef=((qu[i].lef+qu[i].rig)>>1)+1;
else
qu[i].rig=((qu[i].lef+qu[i].rig)>>1)-1;
}
if(!cnt)
break;
}
for(reg int i=1;i<=q;++i)
writeln(ans[i]);
flush();
return 0;
}