P1373 小a和uim之大逃离（动态规划）

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题目大意：

　　一个N行M列的矩阵，从任意点开始往右或者往下走，每走一格获得所到达的格子的分数。

　　要求总步数必须为偶数。问有多少种走法，使得奇数步得到的总分和偶数步得到的总分对K+1取模的值相等。

　　1 ≤ N, M ≤ 800, 1 ≤ K ≤ 15;

思路：

状态：

　　f[i][j][k]表示以（i，j）为终点时，奇数步与偶数步的差值为k时（当然k属于K+1的完全剩余系），的方案数。

初始状态：

　　若从（i-1，j）或（i，j-1）走到（i，j）时产生的差值为k，则f[i][j][k]++。

　　这是因为状态转移时只继承了之前的格子的状态，没有继承到之前没有格子的状态（第一步不用继承其他的状态）。

状态转移方程：

　　f[i+1][j+1][k1] += f[i][j][k]；其中k1 = k + 从（i， j）走到（i+1，j+1）时，产生的奇偶步差值。

　　（PS：这里有→↓和↓→两种走法）

　　f[i+2][j][k3] += f[i][j][k]；其中k3 = k + 从（i， j）走到（i+2，j）时，产生的奇偶步差值。

　　f[i][j+2][k4] += f[i][j][k]；其中k4 = k + 从（i， j）走到（i，j+2）时，产生的奇偶步差值。

　　当然以上的种种都要取模。

 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 800 + 1;
const int MOD = 1000000000 + 7;
#define mod(x) (x)%MOD
#define modk(x) ((x)+K)%K
#define dep1 mat[i+1][j]-mat[i+1][j+1]
#define dep2 mat[i][j+1]-mat[i+1][j+1]
#define dep3 mat[i+1][j]-mat[i+2][j]
#define dep4 mat[i][j+1]-mat[i][j+2]

int N, M, K;
int mat[MAX_N][MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N][16];

void init()
{
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= M; j++) {
            if (i >= 2)
                f[i][j][modk(mat[i-1][j] - mat[i][j])]++;
            if (j >= 2)
                f[i][j][modk(mat[i][j-1] - mat[i][j])]++;
        }
    }
}

void dp()
{
    init();

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = 1; j <= M; j++) {
            for (int k = 0; k < K; k++) {
                if (i+1 <= N && j+1 <= M) {
                    f[i+1][j+1][modk(k+dep1)] = mod(f[i+1][j+1][modk(k+dep1)] + f[i][j][k]);
                }
                if (i+1 <= N && j+1 <= M) {
                    f[i+1][j+1][modk(k+dep2)] = mod(f[i+1][j+1][modk(k+dep2)] + f[i][j][k]);
                }
                if (i+2 <= N && j <= M) {
                    f[i+2][j][modk(k+dep3)] = mod(f[i+2][j][modk(k+dep3)] + f[i][j][k]);
                }
                if (i <= N && j+2 <= M) {
                    f[i][j+2][modk(k+dep4)] = mod(f[i][j+2][modk(k+dep4)] + f[i][j][k]);
                }
            }
        }
    }
    ll res = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++)
            res = mod(res + f[i][j][0]);
//    for (int i = 1; i <= N; i++) {
//        for (int j = 1; j <= M; j++) {
//            cout << f[i][j][0] << ' ';
//        }
//        cout << endl;
//    }
    cout << res << endl;
    return;
}

int main()
{
    cin >> N >> M >> K;
    K++;
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        for (int j = 1; j <= M; j++) {
            scanf("%d", &mat[i][j]);
            mat[i][j] %= K;
        }
    dp();
    return 0;
}