一、一个整数的因数个数
1、做法：将整数N分解为幂的形式相乘。N = am*bn,则因数个数为：(m+1)*(n+1)。
1.数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?
【分析与解】 360分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整数,且a为0～3,6为0～2,c为0～1)．
因为a、b、c的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．
我们先只改动关于质因数3的约数,可以是l,3,32,它们的和为(1+3+32),所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数,可以是l,2,22,23,它们的和为(1+2+22+23)，所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数,可以是1,5,它们的和为(1+5),所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
于是,我们计算出值:13×15×6=1170．
所以,360所有约数的和为1170．
评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：
I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.
如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．
如：21000=23×3×53×7,所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．
另外，从1开始写出可以整除的数，知道相邻两个数相乘为N为止，即可算出因子个数。
求10的因数个数。1,2,5.此时2*5=10.因子个数2n=2*2=4；
或者求N得1到sqrt(N),因子个数n，则2n即为所求。
A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?
【分析与解】 :由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b,其中a、b为整数且只含质因子3、5.
即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y、m、n均为自然数(可以为0)
由题中条件知A、B中有一个数质因数中出现了两次5,多于一次3,那么,先假设它出现了N次3,则约数有:(2+1)×(N+1) = 3×(N+1)个
12与10其中只有12是3的倍数,所以3(N+1)=12,易知N=3,这个数是A，即A=33×52=675．
那么B的质数中出现了一次3,多于两次5,则出现了M次5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875．
那么A,B两数的和为675+1875=2550．
2、完全平方数（除0外）有奇数个约数。
写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．
由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?
18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．
2015盏灯，初始全灭；第一次按编号为1的倍数的灯按下，第二次把编号为2的倍数的灯按下，。。。最后把编号为2015的倍数的灯按下。
最后亮灯个数：44
每盏灯按奇数次后为亮灯，该灯编号满足约数有奇数个即可，该灯编号为一个完全平方数。
442 <2015 <452 .
3、分数的最大公约数和最小公倍数（其中（a,b）表示最大公约数，[a,b]表示最小公倍数）
评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.
3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长千米,中圈跑道长千米,外圈跑道长千米.甲每小时跑3千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时后,3人第一次同时回到出发点?
4、最大公因数和最小公倍数的关系
最大公因数一般采取辗转求余的方法。
甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？
【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90=540，则乙数为540÷18=30．
5、
若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；
若三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．
6、
甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?
【分析与解】 对90分解质因数:90=2×3×3×5.
因为5除不尽126,所以5甲,即甲中不含因数5,于是乙必含因数5．
因为2除不尽105,所以2乙,即乙中不含因数2,于是甲必含2×2．
因为9除不尽105,所以9乙,即乙最多含有一个因数3．
当乙只含一个因数3时,乙=3×5=15,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18；
当乙不含因数3时,乙=5,由[甲,乙]=90=2×32×5,则甲=2×32=18，
综上所需,甲为18．
评注:两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子,并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．
如a=2×33×52×7, b=23×32×5×7×11,则A、B的最小公倍数含有质因子2,3,5,7,11,并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个,3个,2个,1个,1个,即[a,b]=23×33×52×7×11．
7、
a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?
【分析与解】 由(a,b)=75=3×52,[a,b]=450=32×2×52=75×3×2,又a﹥b所以
a = 450, b = 75. 或者 a = 225, b = 150.
[b,c]=1050=2×3×52×7.
当a = 225, b = 150. 时有(450,75,c) = (75,c)=15; [b,c]=[75,c]=1050，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积,所以(75,c)×[75,c]=75×c=15×1050,得c=210,但是c>b,不满足；
当a = 450, b = 75时，(225,150,c) = (75,c)=15; [b,c]=[150,c]=1050 ,则c=105,c﹤b,满足,即为满足条件的为一解．
那么c是105.
8、质因数分解，全都是套路。
有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?
【分析与解】 设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D=1111．
将1111分解质因数:1111=11×101,显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101,记此时A=101a，B=101b,C=101c,D=101d,有a+b+c+d=11,当a+b+c+d=1+2+3+5时满足,即这4个数的公约数可以取到101．
综上所述,这4个不同的自然数,它们的最大公约数最大能是101．
评注:我们把此题稍做改动:“有5个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?”,大家不妨自己试试．
二、排错问题
f(n) = (n - 1)(f(n - 1) + f(n - 2))
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