十四、降维
14.1 应用一：数据压缩
本节问题：
- 降维是如何应用在数据压缩方面的？
~~~~~~ 数据投影，把三维数据降到二维，就是把它投影到一个z1，z2坐标的平面，用平面的点确定三位空间的点，即把三维坐标系的点用两个数字表示出来；
14.2 应用二：数据可视化
本节问题：
- 降维是如何对数据可视化起到作用的？
~~~~~~ 用一个不同的特征来表示它，加入这里有50个特征，我们用两个不同的特征来表示它们，相当于对于每个样本，我用2个数组表示50个数字；
对于降维在数据可视化中的应用，通常k选择2，3，从而方便画图展示；
14.3 主成分分析PCA
本节问题：
- 了解降维的一种核心方法——PCA；
- PCA的原理；
- PCA同线性回归的区别；
- 主成分分析的步骤；
~~~~~~
试图找一个投影（可以是平面可以是线）来把数据投影到上面，使投影误差（点到直线的距离）最小；
主成分分析降维的同时，也带来一定的误差，即与原始数据相比，数据可靠性降低；看取舍 ；
假设常数项为0，直线过原点更容易观察；
~~~~~~
向量；一个或者多个向量构成直线或者多维空间；找出若干向量，将数据投影到这k个向量展开的线性子空间上；k维平面，若是2维平面，距离就是原3维空间上的点到二维平面的距离；
PCA和线性回归的区别：
线性回归最小化的是实际y值到预测y值的平方差，而PCA最小化的是点到直线的距离的平方；
线性回归用一个x值来预测y值；
PCA将所有x值转换为别的值；
1、在进行PCA之前，先均值归一化和特征规范化；
2、数据预处理
3、特征缩放
4、主成分分析
协方差
正定矩阵
奇异值分解
7、用到的就是那个 U 矩阵，用于线性变换，得到向量z，z是k维向量，其实就是整个投影过程的变换；
14.4 重建的压缩表示
本节问题：
- 如何把降维后的数据恢复到以前维度；
原始数据的重构问题：
其实就是一个矩阵求逆的过程，不过求出来的Xapprox和以前的X会有一定的误差，因为存在投影误差；
而对于U矩阵，它是正交矩阵，转置等于逆，所以这里直接Xapprox=UreduceZ；
14.5 选择主成分的数量
本节问题：
- 如何选择主成分K的大小
K越大，Xapprox越接近原来的X，保留的方差性就越多；
方差被保留的百分比=>信息被保留的百分比；
使用SVD，能够避免反复大量计算；
14.6 主成分分析的应用建议
本节问题：
- PCA如何加快学习算法的执行效率；
在监督学习中对高维的样本使用主成分分析降维，比如10000维数据降到1000维，几乎不影响精确度，PCA后回归能够大幅度提高效率；
~~~~~~
**错误应用之一：使用PCA防止过拟合；**它可能效果会很好，但这不是解决过拟合的方式，因为它实际特征并没有减少（比如99%的方差被保留），还不如使用正则化；
建议：
- 不要一开始就使用PCA，最好先使用原始数据，只有当原始数据进行不下去了才考虑PCA；
- 与其考虑降低维度，不如想想如何优化算法；