CF#303A Lucky Permutation Triple 数论

题意：要求给出一个数N的余数系的三个排列A, B, C，其中使得对于任意的 i 满足(A[i] + B[i]) % N = C[i]。

例如N=5的时候有一下排列：

A: 1 4 3 2 0
B: 1 0 2 4 3
C: 2 4 0 1 3

解法：首先排列如果存在的话，肯定是不唯一的，因为可以随意交换A,B,C的相同两列使得结果仍然满足。对于一个给定的N，我们可以列出一下一张图：

横纵坐标反应了余数相加的情况：
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
只要取从左上到右下的对角线即可。

以上只能够保证N为奇数的时候有解，不足以说明白偶数为何无解。还有一种观点现在自己还证不出来：对于每一种合法的情况，A,B,C一定是按照某种规则增长的，也就是一个等差数列，只是每一位数都对N取模而已。那么如果公差d于N互质的话，能够在N步之内枚举完所有的余数，否则不能。

证：任何一个序列如果从0开始，那么序列就变为了0, d%N, 2*d%N ... i*d%N ... j*d%N...(N-1)*d%N 如果存在id % N = jd % N，那么N | (j-i)d，由于gcd(d, N) = 1 且 i-j < N，这显然是荒谬的。所以任意两个id%N, jd%N都是互质的，因为有N个数，所以也就取遍了所有的余数，而对于于N不互质的d，则无法推导出次结论，实际上只要 j-i = N/gcd(d,N)时，就有id%N = jd%N了，显然可以找到这样两个余数相同的数。

这也就是为什么上面取A,B序列公差均为1可以的原因了，因为两个公差为1的序列相加之后公差为2，而2与奇数N是互质的。因此还可以选择更多的方案来完成匹配。如果上面的假设成立，那么对于偶数N也是很好否定的，因为偶数N的A,B所取得两个公差一定要求都是奇数，而如此对于C而言则公差变成了偶数，此时N也为偶数，由于d于N不互质，也就无法构造出这样三个序列了。

现在我无法证明的就是为什么在对A做一个排序使其成为d=1的序列后，一定要求B也同样为一个等差序列。

代码如下：

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int main() {
    int N;
    while (scanf("%d", &N) != EOF) {
        if (!(N&1)) {
            puts("-1");
            continue;    
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            printf(i == N-1 ? "%d\n" : "%d ", i);
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            printf(i == N-1 ? "%d\n" : "%d ", i);
        }
        for (int i = 0; i < N; ++i) {
            printf(i == N-1 ? "%d\n" : "%d ", 2*i%N);
        }
    }
    return 0;    
}