【poj3764】 The xor-longest Path

http://poj.org/problem?id=3764 (题目链接)

今天的考试题，看到异或就有点虚，根本没往正解上想。。

题意

　　给出一棵带权树，请找出树上的一条路径，使其边上权值的异或和最大。

solution

　　首先我们考虑从根向下dfs，记录下每个点i到根上权值的异或和${val[i]}$。根据异或和的性质：${x~Xor~y~Xor~y=x}$。所以我们可以由${val}$数组两两组合得出树上任意两点之间路径的异或和。（不理解请自己脑补OvO）

　　然而这样对于时间复杂度并没有提高，仍然需要枚举两点。所以我们考虑从异或这个运算的本质下手。要使两个数的异或和尽可能大，那么这两个数的二进制高位的数就要尽可能不同。其实这是贪心思想，对于每一个${val[i]}$，我们把它拆成二进制数，由高位向低位，尽可能使当前位上的数与${val[i]}$当前位上的数不同（这样对答案的贡献最大）。

　　对于这样一个算法，我们可以用trie树维护。根据深度建树30层，每一个节点的儿子就是${0}$和${1}$，表示有没有一个${val[i]}$在这一位存在${0}$或${1}$。这样就很好的解决了问题。复杂度${O（n*30）}$。

代码

// poj3764
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define MOD 1000000007
#define inf 2147483640
#define LL long long
#define free(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout);
using namespace std;
 
const int maxn=100010;
struct edge {int to,next,w;}e[maxn<<1];
int vis[maxn],val[maxn],bin[maxn],tr[maxn<<4][2],head[maxn],cnt,sz,n;

void link(int u,int v,int w) {
	e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt;e[cnt].w=w;
	e[++cnt].to=u;e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt;e[cnt].w=w;
}
void dfs(int u,int w) {
    vis[u]=1;
    for (int i=head[u];i;i=e[i].next) if (!vis[e[i].to])
            dfs(e[i].to,w^e[i].w);
    val[u]=w;
}
void insert(int x) {
    int u=0;
    for (int i=30;i>=0;i--) {
        int k=x&bin[i];k>>=i;
        if (!tr[u][k]) tr[u][k]=++sz;
        u=tr[u][k];
    }
}
int main() {
    bin[0]=1;for (int i=1;i<=30;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
    while (scanf("%d",&n)!=EOF) {
        cnt=sz=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));memset(head,0,sizeof(head));
        memset(tr,0,sizeof(tr));
        for (int u,v,w,i=1;i<n;i++) {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			u++,v++; //因为节点编号是从0开始，所以全部+1
			link(u,v,w);
        }
        dfs(1,0);
        for (int i=1;i<=n;i++) insert(val[i]);
        int ans=0;
        for (int i=0;i<=n;i++) {
            int u=0,x=val[i],s=0;
            for (int j=30;j>=0;j--) {
                int k=x&bin[j];k>>=j;
                if (tr[u][k^1]) s+=bin[j],u=tr[u][k^1];
                else u=tr[u][k];
            }
            ans=max(ans,s);
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}