每日一题_190917

已知椭圆 (C:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) 的长轴长为 (2sqrt{2},) 焦距为 (2,) 抛物线 (M:y^2=2px(p>0)) 的准线经过 (C) 的左焦点 (F.)
$ (1) $ 求 (C) 与 (M) 的方程 $ ; $
$ (2) $ 直线 (l) 经过 (C) 的上顶点且 (l) 与 (M) 交于 (P,Q) 两点, 直线 (FP,FQ) 与 (M) 分别交于点 (D) $ ($ 异于点 (P) ()), (E) (() 异于点 (Q) ()), 证明(:) 直线 (DE) 的斜率为定值.
$ (1) $ 由题易知椭圆 (C) 的方程为 $$
C:dfrac{x^2}{2}+y2=1,$$
从而其左焦点 (F(-1,0)), 所以所求抛物线方程为 (M: y^2=4x).
$ (2) $ 如下图所示

由题设 (P,Q,D,E) 四点的坐标分别为$$
P( t_1^2,2t_1 ), Q(t_2^{2,2t_2),D(t_3}2,2t_3), E(t_4^2,2t_4).$$
由于直线 (PQ) 的纵截距为 (1), 直线 (DP,QE) 的横截距为 (-1), 因此由截距坐标公式有$$
egin{cases}
&1=dfrac{t_1^2cdot 2t_2-t_2^2cdot 2t_1}{t_1^2-t_22}=dfrac{2t_1t_2}{t_1+t_2},
&-1=dfrac{t_1^2cdot 2t_3-t_3^2cdot 2t_1}{2t_3-2t_1}=-t_1t_3,
&-1=dfrac{t_2^2cdot 2t_4-t_4^2cdot 2t_2}{2t_4-2t_2}=-t_2t_4.
end{cases}$$
从而直线 (DE) 的斜率为$$
k_{DE}=dfrac{2t_4-2t_3}{t_4^2-t_32}=dfrac{2}{t_3+t_4}=dfrac{2}{frac{1}{t_1}+frac{1}{t_2}}=dfrac{2}{2}=1.$$
证毕.