每日一题_191010

设(f(x)={ln}(x+1),g(x)=mathrm{e}^x-1).
((1)) 证明:(xgeqslant 0)时,(dfrac{2x}{x+2}leqslant f(x)leqslant x);
((2)) (xgeqslant 0)时,(f(x)cdot g(x)geqslant ax^2),求实数(a)的取值范围.

解析:
((1)) 由于我们熟知$$
forall xgeqslant 1,x-1geqslant {ln}xgeqslant dfrac{2(x-1)}{x+1}.$$因此只需将上述不等式中的(x)置换为(x+1),则题中不等式得证.
((2)) 经由端点分析可知(aleqslant 1). 以下对参数(a)以(1)为分界点分类讨论.
情形一 若(aleqslant 1),构造函数$$
h(x)=dfrac{mathrm{e}^{x-1}{x},x>0.$$对$h(x)$求导可得$$h'(x)=dfrac{xmathrm{e}}x-mathrm{e}^x+1}{x2},x>0.$$易知(forall x>0,h'(x)>0),所以(h(x))为单调递增函数,因此$$forall x>0,h(x)=dfrac{mathrm{e}^x-1}{x}>dfrac{x}{{ln}(x+1)}=h({ln}(x+1)).$$从而$$forall xgeqslant 0,left(mathrm{e}^x-1 ight){ln}(x+1)geqslant x^2geqslant ax^2.$$因此(aleqslant 1)满足题设.
情形二 若(a>1),构造函数$$F(x)=(mathrm{e}^{x-1){ln}(x+1)-ax}2,xgeqslant 0.$$分别对(F(x))求一二阶导函数可得$$
egin{cases}
&F'(x)=dfrac{mathrm{e}^{x-1}{x+1}+mathrm{e}}x{ln}(x+1)-2ax,
&F''(x)=dfrac{xmathrm{e}^x+1}{(x+1)2}+mathrm{e}^xleft[{ln}(x+1)+dfrac{1}{x+1} ight]-2a.
end{cases}$$
则(F''(0)=2-2a<0).此时必然存在(x_0>0),使得$$
forall xinleft(0,x_0 ight),F''(x)<0,$$即在区间((0,x_0))内,(F'(x))单调递减,此时$$
forall xinleft(0,x_0 ight),F'(x)<F'(0)=0.$$于是(F(x))在((0,x_0))单调递减,有$$
forall xinleft(0,x_0 ight),F(x)<F(0)=0.$$不符题设,舍去.