每日一题_191123

已知函数(f(x)=ax+{ln}x+1) ((ainmathbb{R})).
((1)) 讨论函数(f(x))的单调性;
((2)) 当(a=1)时,令函数(g(x)=xmathrm{e}^x-f(x))(()其中(mathrm{e})是自然对数的底数()),求(g(x))的最小值.
解析:
((1)) 对(f(x))求导可得$$
f'(x)=a+dfrac{1}{x},x>0.$$
情形一 若(ageqslant 0),则(forall x>0,f'(x)>0),此时函数(f(x))为单调递增函数.
情形二 若(a<0),则(f(x))在(left(0,-dfrac{1}{a} ight))单调递增,在(left[-dfrac{1}{a},+infty ight))单调递减.
((2)) 当(a=1),此时(g(x)=xmathrm{e}^x-x-{ln}x-1),此时$$
forall x>0,g(x)=mathrm{e}^{x+{ln}x}-x-{ln}x-1geqslant x+{ln}x+1-x-{ln}x-1=0.$$
因此当(x_0)满足(x_0+{ln}x_0=0)时,(g(x))取得最小值(g(x_0)=0).以下证明(x_0)的存在性.记$$
h(x)=x+{ln}x,x>0.$$显然(h(x))单调递增,且$$
egin{cases}
& exists x_1=dfrac{1}{mathrm{e}},h(x_1)<0,
& exists x_2=1,h(x_2)>0.
end{cases}

[ 因此对于函数$h(x)$必然存在$x_0inleft(dfrac{1}{mathrm{e}},1 ight)$使得$h(x_0)=0$.]