这是一个点集拓扑的简单命题：设$D$是一个$n$维胞腔，$f$是定义在$partial D$上，值域是$[0,1]$的连续函数，那么存在一个函数$F: Dlongrightarrow [0,1]$使得$F$限制在$partial D$上是$f$，并且在$mathrm{Int} D$上恒正。
证明：由于$D$是一个$n$维胞腔，存在一个从闭球$ar{mathbb{B} }^n $到$D$的同胚映射$G$使得$G$把边界$mathbb{S}^{n-1} $映到$partial D$，考虑$g=fcircleft. G ight|_{mathbb{S}^{n-1} }$，那么$g$是球面$mathbb{S}^{n-1} $上的一个连续映射，值域为$[0,1]$。考虑球上的调和方程$$leftlbraceegin{array}{ll}Delta u=0,&xinmathbb{B}^n \u(x)=g(x),&xinmathbb{S}^{n-1}end{array} ight. $$其存在唯一的光滑解$u$，从而$u$必为连续函数，且有极值原理，$u$在$mathbb{B}^n $内恒正，则$F=ucirc G^{-1} $即为所求。