DP：凑零钱问题/最长非降子序列（C++）

你给出一定数额的钱 i 元给我，我利用手中的硬币(m元， j元， k元...)兑换等值的钱给你，要求硬币数最少。

举例：给出1-11的钱，手中硬币有1元，3元，5元。

重点是找到状态和状态转移方程。

具体可以看这里：点击进入

引用自上面链接：

 最终我们要求解的问题，可以用这个状态来表示：d(11)，即凑够11元最少需要多少个硬币。 那状态转移方程是什么呢？既然我们用d(i)表示状态，那么状态转移方程自然包含d(i)， 上文中包含状态d(i)的方程是：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。没错， 它就是状态转移方程，描述状态之间是如何转移的。当然，我们要对它抽象一下，

d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值;

因此可以列出函数式：

const vector<int> Func(vector<int> &coin){
    vector<int> MIN(12);
    for(int i = 1; i <= 11; ++i){//从1~11元，寻找每次最少兑换硬币数
        MIN[i] = 99;//这里我理解为初始的状态值，赋值为不可能取值
        for(int j = 0; j < coin.size(); ++j){
            if(coin[j] <= i && MIN[i-coin[j]] + 1 < MIN[i])
                MIN[i] = MIN[i - coin[j]] + 1;
            }
        }
        return MIN;
}

coin[i] <= i表示，我给的硬币不能超过你给我的钱大小，不然亏了。

最长非降子序列的长度

先看看引言：

如果我们要求的这N个数的序列是：

5，3，4，8，6，7

根据上面找到的状态，我们可以得到：（下文的最长非降子序列都用LIS表示）

• 前1个数的LIS长度d(1)=1(序列：5)
• 前2个数的LIS长度d(2)=1(序列：3；3前面没有比3小的)
• 前3个数的LIS长度d(3)=2(序列：3，4；4前面有个比它小的3，所以d(3)=d(2)+1)
• 前4个数的LIS长度d(4)=3(序列：3，4，8；8前面比它小的有3个数，所以 d(4)=max{d(1),d(2),d(3)}+1=3)

OK，分析到这，我觉得状态转移方程已经很明显了，如果我们已经求出了d(1)到d(i-1)， 那么d(i)可以用下面的状态转移方程得到：

d(i) = max{1, d(j)+1},其中j<i,A[j]<=A[i]

用大白话解释就是，想要求d(i)，就把i前面的各个子序列中， 最后一个数不大于A[i]的序列长度加1，然后取出最大的长度即为d(i)。 当然了，有可能i前面的各个子序列中最后一个数都大于A[i]，那么d(i)=1， 即它自身成为一个长度为1的子序列。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int func(vector<int> &vec) {
    vector<int> MAX(vec.size());
    int len = 1;
    for (int i = 0; i < vec.size(); ++i) {
        MAX[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; ++j)
            if (vec[j] <= vec[i] && MAX[j] + 1 > MAX[i])
                MAX[i] = MAX[j] + 1;
        if (MAX[i] > len)
            len = MAX[i];
    }
    return len;
}
int main() {
    vector<int> vec = { 5, 3, 4, 8, 6, 7};
    cout << func(vec) << endl;

    system("PAUSE");
    return 0;
}

如果这道题我们改一下，要求最长连续非降序序列长度，又该是怎样呢？

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int func(vector<int> &vec) {
    vector<int> MAX(vec.size());
    int len = 1, i = 0, j = 0;
    for (; i < vec.size(); ++i) {
        MAX[i] = 1;
        for (; j < i; ++j)
            if (vec[j] <= vec[i] && MAX[j] + 1 > MAX[i])
                MAX[i] = MAX[j] + 1;
        if (MAX[i] > len)
            len = MAX[i];
    }
    return len;
}
int main() {
    vector<int> vec = { 5, 3, 4, 8, 6, 7};
    cout << func(vec) << endl;

    system("PAUSE");
    return 0;
}