题目大意:有一个长度为 $n$ 的字符串,由 $o,x,?$ 三种字符组成。$?$ 代表 $o,x$ 各有 $50\%$ 概率。求期望的连续 $o$ 长度的平方和。
题解:令$f_i$为到第$i$位的答案,$d_i$为到第$i$位前连续一段$o$的个数的期望,$x_i$为第$i$位为$o$的概率($s_i$为$o$时为$1$,为$x$时为$0$,否则为$0.5$)
$ herefore DP$方程如下:
$$d_i=(d_{i-1}+1) imes x_i+0 imes (1-x_i)$$
$$egin{align*}
f_i&=[f_{i-1}-d_{i-1}^2+(d_{i-1}+1)^2] imes x_i+f_{i-1} imes(1-x_i)\
&=(f_{i-1}+2cdot d_{i-1}+1) imes x_i+f_{i-1} imes(1-x_i)
end{align*}$$
然后发现$f_i$只和$f_{i-1},d_{i-1},x_i$有关,$d_i$只和$d_{i-1},x_i$有关,所以可以滚掉
卡点:无
C++ Code:
#include <cstdio> #define maxn 300010 using namespace std; int n; double f, d, x; char s[maxn]; int main() { scanf("%d%s", &n, s); for (int i = 0; i < n; i++) { x = (s[i] == 'o' ? 1 : (s[i] == 'x' ? 0 : 0.5)); f = (f + 2 * d + 1) * x + f * (1-x); d = (d + 1) * x; } printf("%.4lf ", f); return 0; }