整数划分

若有n=m1+m2+…+mi;（其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
当n=1或m=1时显然f(n,m)=1

当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
1). 划分中包含n的情况，只有一种情况即为{n}；
2). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
因此总个数为两种情况之和 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

当n < m时，显然f(n,m)=f(n,n),因为m有效值最大为n。

但n > m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
1). 划分中包含m的情况则在m1、m2、…、mi中去掉m后的和应为n-m且去掉后显然数列中所有数都没有m大，因此这种情况下的个数为f(n-m,m)。
2). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，且都为整数则这种情况下的个数等于f(n,m-1)
因此总个数为两种情况之和 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

将所有情况考虑后即可算出目标值

code：

#include<cstdio>

int n;
int dp[105][105];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==1||j==1) dp[i][j]=1;
            else if(i<j) dp[i][j]=dp[i][i];
            else if(j<i) dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
            else if(i==j) dp[i][j]=dp[i][j-1]+1;
        }
    printf("%d",dp[n][n]);
    return 0;
}