[学习笔记]FWT——快速沃尔什变换

解决涉及子集配凑的卷积问题

一、介绍

1.基本用法

FWT快速沃尔什变换学习笔记

就是解决一类问题：

$f[k]=sum_{ioplus j=k}a[i]*b[j]$

基本思想和FFT类似。

首先转化成为另一个多项式$FWT(A),FWT(B)$

使得：$FWT(Aoplus B)=FWT(A)×FWT(B)$

这里，$×$是按位乘。这个是$O(n)$的。

然后，再$IFWT$回去即可。

类似于，直接过马路不好走。先从左边走上一座天桥，再从天桥走过去，再到马路右侧走下天桥。

就变成了$O(nlogn)$

$FWT$虽然不是非常容易理解，但是比较容易记忆。

（虽然一定要理解）

类比$FFT$的写法，就可以比较轻松记忆。

就是分治压缩、合并、分治解压的过程。

【模板】快速沃尔什变换

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
il void prin(int x){
    if(x/10) prin(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
namespace Miracle{
const int N=131072+4;
const int mod=998244353;
const int inv2=499122177;
int a[N],b[N];
int c[N],d[N];
int e[N];
int n;
void _or(int *f,int op){
    for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
        int len=p/2;    
        for(reg k=0;k<n;k+=p){
            for(reg l=k;l<k+len;++l){
                if(op==1)f[l+len]=(f[l+len]+f[l])%mod;    
                else f[l+len]=(f[l+len]-f[l]+mod)%mod;
            }
        }
    }
}
void _and(int *f,int op){
    for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
        int len=p/2;    
        for(reg k=0;k<n;k+=p){
            for(reg l=k;l<k+len;++l){
                if(op==1)f[l]=(f[l+len]+f[l])%mod;    
                else f[l]=(f[l]-f[l+len]+mod)%mod;
            }
        }
    }
}
void _xor(int *f,int op){
    for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
        int len=p/2;    
        for(reg k=0;k<n;k+=p){
            for(reg l=k;l<k+len;++l){
                int x=f[l],y=f[l+len];
                if(op==1){
                    f[l]=(x+y)%mod;
                    f[l+len]=(x-y+mod)%mod;
                }
                else{
                    f[l]=(ll)(x+y)*inv2%mod;
                    f[l+len]=(ll)(x-y+mod)%mod*inv2%mod;
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    n=(1<<n);
    for(reg i=0;i<n;++i) rd(a[i]),c[i]=a[i];
    for(reg i=0;i<n;++i) rd(b[i]),d[i]=b[i];
    
    _or(c,1);_or(d,1);
    for(reg i=0;i<n;++i) e[i]=(ll)c[i]*d[i]%mod;
    _or(e,-1);
    for(reg i=0;i<n;++i){
        prin(e[i]);putchar(' ');c[i]=a[i],d[i]=b[i];
    }putchar('
');
    
    _and(c,1);_and(d,1);
    for(reg i=0;i<n;++i) e[i]=(ll)c[i]*d[i]%mod;
    _and(e,-1);
    for(reg i=0;i<n;++i){
        prin(e[i]);putchar(' ');c[i]=a[i],d[i]=b[i];
    }putchar('
');
    
    _xor(c,1);_xor(d,1);
    for(reg i=0;i<n;++i) e[i]=(ll)c[i]*d[i]%mod;
    _xor(e,-1);
    for(reg i=0;i<n;++i){
        prin(e[i]);putchar(' ');//c[i]=a[i],d[i]=b[i];
    }putchar('
');
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/22 15:08:15
*/

2.子集卷积

https://www.cnblogs.com/Dance-Of-Faith/p/8818211.html

 多加一维i，强制记录涉及集合sz大小

外层枚举sz

O(2^n*n^2)

（推荐使用FWT，因为比FMT常数小）

二、例题

留坑

 安师大附中集训 Day2

[FWT] UOJ #310. 【UNR #2】黎明前的巧克力

三、FFT、NTT、FWT的比较

留坑

没啥可比较的。处理思路一致。

就是运算符的问题吧。

四、FWT、FMT的比较

留坑

 FMT好写，FWT的与或卷积的第一步可以取代FMT

---

upda：2019.4.17

FMT可以代替FWT的与或卷积。IFMT把+改成-即可

（xor暂时不知道具体含义，估计也可以代替？）

实际上

FMT很辣鸡

相比之下，FWT做的事情完全包含FMT，并且常数是FMT的1/2！

[WC2018]州区划分（这个题我人傻常数大，必须用FWT卡常才能过）

所以还是写FWT吧