网络流是一个博大精深的OI类别
今天浅显地理解了一下网络流，做一下笔记
定义：
1.网络：是一个有向图，每个边有一个容量c(x,y)，每条边也会有一个可行的流量f(x,y)，这个f被称为流函数
图中有一个源点S，不断往外流水，只流不入，汇点T则相反。其他的点流入的量等于流出的量。
流/增广路：一条从S 出发，能到达T且经过的边的流函数最小值>0的路径，称为一个流/增广路
网络流：顾名思义，和水流类似，就是在一张网络上流水，每条边好似一个管道。
2.三大定律：
①容量限制：f(x,y)<=c(x,y) 每条边不能超过边的容量。这限制了网络一定有一个最大的总流量
②斜对称：f(x,y)=-f(y,x) 一条边相当于是一个正边和反边组成，从x往y流flow，相当于从y往回流-flow
这一点其实是人为定义的，原图中一般也不画出，但是相当关键，也是可以用dinic，EK等算法直接求最大流的“反悔回流”的条件
这个反边是一定要建的。不要忘了。
③流量守恒。除了源点，汇点之外，每个点流入的总流量，一定等于流出的总流量。
这一点也是很重要的基础，为最大流求法和模型构建提供了成立的条件。
之后边的容量保留的是边的剩余流量，正向减去，反向会加上。初始正向是最大容量，反向是0
最大流
之前已经说了，每个点有一个流入的和流出的量。
定义，一个网络的总流量为：∑f(s,v)即从源点流出的总量。
满足三大定律的流函数有很多，其中最多的总流量称为这个网络的最大流。
网络流的扩展变形都是建立在最大流基础上的。
算法：
①Edmonds-Karp（EK）利用bfs每次找到一条增广路增广。
（留坑，学完费用流再补）
upda:
EK每次bfs找到一条 增广路，然后对这条增广路进行流量改变。
记录一个incf[x]，表示，进入x的流量。
要记录一个pre[x]，表示点x是通过哪条边转移过来的。
一般能处理10^3~10^4的网络
②Dinic算法
发现EK每次最多只找到一条增广路，效率不是很高
Dinic bfs搜出分层图，dfs多路增广，效率就很高了。
一般能处理10^4~10^5的网络。
模板：
luoguP3376 【模板】网络最大流
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=10000+7; const int M=100000+7; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m; struct node{ int nxt,to; int w; }e[2*M]; int hd[N],cnt=1;//从2开始编号，i^1就是反边编号 int s,t; void add(int x,int y,int z){ e[++cnt].nxt=hd[x]; e[cnt].to=y; e[cnt].w=z; hd[x]=cnt; } int d[N]; queue<int>q; bool bfs(){//bfs找分层图 while(!q.empty()) q.pop(); memset(d,0,sizeof d); d[s]=1; q.push(s); while(!q.empty()){ int x=q.front();q.pop(); for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; if(!d[y]&&e[i].w){ d[y]=d[x]+1; q.push(y); if(y==t) return 1; } } } return 0; } int dfs(int x,int flow){//dfs多路增广 if(x==t) return flow; int rest=flow; for(int i=hd[x];i&&rest;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; if(d[y]==d[x]+1&&e[i].w){ int k=dfs(y,min(rest,e[i].w)); if(!k) d[y]=0; rest-=k; e[i].w-=k; e[i^1].w+=k; } } return flow-rest; } int main() { scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t); int x,y,z; for(int i=1;i<=m;i++){//建边 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); add(x,y,z);add(y,x,0);//反边起初容量是0 } int maxflow=0; int flow; while(bfs()) while(flow=dfs(s,inf)) maxflow+=flow; printf("%d",maxflow); return 0; }
应用：
①二分图最大匹配，S向所有左部点连边，左部点向右部点连边，右部点向T连边。边权均为1
显然，这个网络的最大流就是二分图最大匹配。
②最小割（见下）
最小割
割集：割掉一些边使得S、T不连通，这些边的集合可以作为一个割集
最小割：一个割集的代价是所有割边的容量的和，代价最小的割集的代价就是最小割
定理：
最大流=最小割
证明：假设最小割小于最大流，那么割掉所选择的边，必然残余网络还有一条增广路，与S、T不连通矛盾
所以，最小割大于等于最大流。
只需证明可以有一种割集，使得代价是最大流即可。
留坑。
理解：
最小割和最大流的思路基本没什么共同之处，一个是不断流，取最大，一个是割边，找最小代价。
对于建模的时候，除了明显的割掉某些边、点之外，
类似有代价的选择，二元关系等也可以用最小割处理。
例题：
POJ 1966 Cable TV Network
见另一篇博客：
这个题，体现了“点边转化”，“容量inf”的处理思想。
点边转化：把点的信息转移到边上，或者边信息转移到点上。
点变成边：拆点，两个点之间的边信息是点的信息。并且要保证，实际经过这个点，必须经过这个边。
一般从上面的点x'向下面y连边。
边变成点：把边拆成两个，中间加一个点，记录边的信息。
费用流
有的时候，题目会涉及到什么最多取得情况下，最多/最少的代价等。
这就要用到费用流了。
注意到，最大流也不是唯一的。
我们可以给每条边加一个单位花费c[i],表示1个流量经过，要花费的代价。
建立反边的时候，费用是-c[i]，退流的时候，把费用也就退了。
费用流分为：最小费用最大流，最大费用最大流。
所以，费用流的模型 本身是建立在最大流的基础上的。先满足最大流的情况下，再满足最优费用（否则最小费用就是0咯大概）
方法：
Edmond-Karp费用流算法。
以最小费用最大流为例：
把bfs改成spfa，每次找到到 t 路径上的最小费用总和。
然后，费用就是incf[t]*dis[t]
找不到最短路了， 那么一定就是最大流找完了，return false
为什么是对的？
感性理解一下，每次找增广路，就能找到最大流（虽然我不会证），那么，每次找费用最少的增广路，一定是不影响最大流的
那么，既然最大流一定，每次乘一个最小的花费，就是最小费用了。（因为还可以退流的，所以即使当前最优解不是全局最优解，还是可以反悔的）
dinic不是更快吗？为什么不用dinic跑？
因为dinic多路增广啊，而且其实是随便瞎走，不关心之后走到哪里，自然何以知道怎样费用是最小的？
代码：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=5000+4; const int M=50000+4; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m,s,t; struct node{ int nxt,to; int w; int c; }e[2*M]; int hd[N],cnt=1; void add(int x,int y,int z,int l){ e[++cnt].nxt=hd[x];e[cnt].to=y;e[cnt].w=z;e[cnt].c=l;hd[x]=cnt; e[++cnt].nxt=hd[y];e[cnt].to=x;e[cnt].w=0;e[cnt].c=-l;hd[y]=cnt; } int incf[N],ans; int maxflow; int pre[N]; queue<int>q; int d[N]; bool vis[N]; bool spfa(){ while(!q.empty())q.pop(); memset(d,inf,sizeof d); d[s]=0;vis[s]=1; incf[s]=inf; q.push(s); while(!q.empty()){ int x=q.front();q.pop(); //cout<<x<<endl; vis[x]=0; for(int i=hd[x];i;i=e[i].nxt){ int y=e[i].to; //cout<<" to "<<y<<endl; if(!e[i].w) continue; if(d[y]>d[x]+e[i].c){ d[y]=d[x]+e[i].c; pre[y]=i; incf[y]=min(incf[x],e[i].w); if(!vis[y]){ vis[y]=1; q.push(y); } } } } if(d[t]==inf) return false; return true; } void upda(){ //cout<<" jhaa "<<incf[t]<<endl; int x=t; while(x!=s){ e[pre[x]].w-=incf[t]; e[pre[x]^1].w+=incf[t]; x=e[pre[x]^1].to; } maxflow+=incf[t]; ans+=incf[t]*d[t]; } int main() { scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t); int x,y,z,l; for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&z,&l); add(x,y,z,l); } while(spfa()) upda(); printf("%d %d",maxflow,ans); return 0; }
例题：
[SDOI2009]晨跑
特殊标志：“在周期最长的情况下，总路程最短”，就是最小费用最大流的经典标志了。
拆点跑费用流即可。
动态加边
类似于动态数组和动态开点线段树，我们申请了许多空间，但是可能根本不会用上。
对于SPFA的许多无用边，更是如此。
如果在费用流中，SPFA次数其实很少，但是边数会很多，而SPFA就只要求一个dis[t]和pre，incf
并不一定需要遍历所有的边。
可以考虑把不会影响dis[t]的边先不加上，upda时候再更新。