为了方便本文的叙述，先定义如下内容：
设(a)，(b)为两个序列，那么：
((a,b))表示将(a)和(b)简单地拼接在一起组成的序列。
设(f)是一个(n)维集合幂级数（(n>0)），那么：
(f^-)表示取所有下标的最高位为(0)的项，并忽略最高位而组成的一个(n-1)维集合幂级数（其实就是(f)的前半段）。
类似的，(f^+)表示取所有下标的最高位为(1)的项，并忽略最高位而组成的一个(n-1)维集合幂级数。（其实就是(f)的后半段）。
用(cdot)代表点积，其形式为：
用(*)代表卷积，其形式为：
其中下标运算(circ)会在上下文给出（或者是普遍情况，不做要求）。
我们先考虑如何用分治乘法解决常见的集合幂级数的卷积。
我们考虑将待卷积的集合幂级数(f)和(g)拆分成((f^-,f^+))和((g^-,g^+))，那么：
显然我们可以选择一种位运算，根据这种位运算将(f^-*g^-)，(f^-*g^+)，(f^+*g^-)，(f^+*g^+)的贡献计算给((f*g)^-)和((f*g)^+)中的某一个。
对于集合并卷积，计算贡献的式子就是：
显然四个新的卷积可以直接递归计算，那么递归式便为：
解得(T(n)=O(4^n))，直接做并没有什么用。我们来考虑减少递归的次数，我们发现：
显然等式右边的前四项是可以合并的，也就是：
(f^-*g^++f^+*g^-+f^+*g^+=(f^-+f^+)*(g^-+g^+)-f^-*g^-)
后面一项之前已经计算过，可以重复利用，只要多算一项即可。因此递归式为：
解得(T(n)=O(2^nn))，复杂度非常优秀。
现在我们来尝试从分治乘法推出其快速沃尔什变换的形式。
考虑之前推出的式子，我们对于集合幂级数(f)，我们只需要保留(f^-)和(f^-+f^+)即可直接递归计算其集合并卷积。那么我们不妨先定义一个变换(f'=(f^-,f^-+f^+))。
研究一下((f*g)')的性质，得到：
这个式子也等价于：
我们发现做了这个变换以后，集合幂级数的前半段和后半段就没有什么关系了，可以直接分开计算。那么我们不难发现如果我们对第二维也做这样的变换，我们可以分成四段进行计算。以此类推，如果对(n)维都做这样的变换的话，计算就分开成了(2^n)个独立的部分，可以直接用点积来计算。
因此得到集合并卷积的快速沃尔什变换：
剩下的一个问题就是做过快速沃尔什变换的(f)和(g)的点积是(f*g)快速沃尔什变换后的形式，因此我们还需要考虑其逆变换。
对于一维的变换，不难发现：
代入证明即可。类似的，我们将这个变换应用于(n)维，得到：
集合交卷积显然是类似的，为了完整我们也来推一遍：
转化为两次乘法：
类似的得到变换(f'=(f^-+f^+,f^+))，复合得：
类似的得到其逆变换：
下面介绍集合对称差卷积。根据对称差的定义，有：
对于这个形式找只计算两次乘法的形式我觉得其实挺要脑力的，不过还是可以找出来的，即：
因此对于集合幂级数(f)我们只需要知道(f^-+f^+)和(f^--f^+)，构造变换(f'=(f^-+f^+,f^--f^+))，同样可以将卷积分为前后两部分，因此复合这个变换得到集合对称差卷积的快速沃尔什变换：
同时得出其逆变换：
同时可以发现集合对称差卷积要求值域有(2)的逆元。
( m 2019.1.1upd)：这篇文章写了有段时间了，之后我似乎想到了一个更简洁的解释快速沃尔什变换的方法：将逻辑或看作取(max)，那么集合并卷积就是对每一维做(max)卷积。可以推得(max)卷积的卷积变换就是前缀和，逆变换就是差分。于是只要利用卷积的复合，对每一维做前缀和以及变换完之后的差分即可。集合交卷积也是相似的。至于集合对称差卷积，由于逻辑异或可以看作是模(2)意义下的加法，于是只要对每一维做长度为(2)的循环卷积即可。