欧拉筛

欧拉筛又称线性筛，可以在线性的时间内筛出素数，因此在时间上要优于埃拉托斯特尼筛法。

欧拉筛是怎么做到在线性的时间内筛素数呢？先看代码。

int n,vis[maxn],prime[maxn],cnt;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
    for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j) {
        vis[i*prime[j]]=1;
        if(i%prime[j]==0) break; //这里是关键
        }
    }

不难看出，欧拉筛记录了已筛出的素数，并用他们的整数倍找合数。而if(i%prime[j]==0) break;就是欧拉筛做到线性时间内筛素数的关键。我们假设当i%prime[j]==0时不跳出循环，接下来要被找到的合数是i*prime[j+1]，因为i能整除prime[j]，因此可以表示成k*prime[j]，这样接下来的合数也可以写成k*prime[j]*prime[j+1]，显然prime[j]<prime[j+1]，说明至少有一个素数比prime[j+1]小，那他肯定不是这个合数的最小质因子，所以我们在此之前跳出循环，保证每个合数只会被他的最小质因子找到。比如12的质因子有2和3，12并不会在i=4时被3找到，而是会在i=6时被2找到。