【NOIP2003】麦森数

本题在洛谷上的链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1045

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这道题的难点在于两个，一是求出2^N-1的位数，而是求出2^N-1的后500位。

实际上第二个比较容易实现，写个高精度外加快速幂就可以了。由于最后结果位数比较大，即使是效率很高的快速幂也会超时，所以我们要另想办法求2^N-1的位数。我们发现，2^N的一位不可能是0，2^N-1和2^N的位数实际上是一样的。而且，若某个数是10^K，那么这个数的位数是K+1。把2N写成(10^lg2)^N，求出lg2*N+1就是最后答案的位数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>

const int maxn = 1e6 + 5;

int p, ans[maxn], x[maxn], al, xl, c[maxn], cl;

inline void mul(int a[], int b[], int& al, int bl) {
    memset(c, 0, sizeof(c));
    cl = 1;
    for (int i = 1; i <= al; ++i)
        for (int j = 1; j <= bl; ++j) {
            if (i + j - 1 > 500) break;
            c[i + j - 1] += a[i] * b[j];
            if (c[i + j - 1] > 9) {
                c[i + j] += c[i + j - 1] / 10;
                c[i + j - 1] %= 10;
            }
        }
    cl = al + bl;
    while (!c[cl] && cl > 0) --cl;
    for (int i = 1; i <= cl; ++i) a[i] = c[i];
    al = cl;
}

inline void quickpow() {
    ans[1] = 1, al = 1;
    x[1] = 2, xl = 1;
    while (p) {
        if (p & 1) mul(ans, x, al, xl);
        mul(x, x, xl, xl);
        p >>= 1;
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &p);
    printf("%d
", (int)(log10(2) * p + 1));
    quickpow();
    --ans[1];
    for (int i = 1; i < al; ++i)
        if (ans[i] < 0) --ans[i + 1], ans[i] += 10;
    for (int i = 10; i >= 1; --i) {
        if (i != 10) putchar('
');
        for (int j = 50; j >= 1; --j)
            printf("%d", ans[(i - 1) * 50 + j] ? ans[(i - 1) * 50 + j] : 0);
    }
    return 0;
}