线性筛素数（欧拉筛）

线性筛素数（欧拉筛）

欧拉筛为啥是(O(n))的呢？我们先来看看代码。

#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn=10000000;
int n, m, prime[maxn], isnt_prime[maxn], tot;

void get_prime(int n){
    isnt_prime[0]=isnt_prime[1]=1;
    for (int i=2; i<=n; ++i){  //当前数是所有数小于n的数而不只是素数，这是欧拉筛与埃氏筛的区别
        if (!isnt_prime[i]) prime[++tot]=i;
        for (int j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=n; ++j){  //当前数乘上的素数为prime[j]
            isnt_prime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    get_prime(n);
    int t;
    for (int i=0; i<m; ++i){
        scanf("%d", &t);
        if (!isnt_prime[t]) printf("Yes
");
        else printf("No
");
    }
    return 0;
}

设当前数i的分解为(i=p_1^{alpha_1}p_2^{alpha_2}...p_k^{alpha_k} (p_1<p_2<...<p_k))，当前枚举的i要乘上的素数为(p_j)，那么，我们要筛掉的数就是(i*p_j)。

if (i%prime[j]==0) break;

这一行很重要。欧拉筛的特点，在于每个合数都被它的最小质因数筛掉。假设，当前被筛的数为(x=i*p_j)。如果(p_j>p_1)，意味着(p_j)并不是x的最小质因数，等到i变的更大，变成某个(i')，x是可以被(i'*p_1)筛掉的。因此，如果发现(p_j>p_1)，就没有必要再继续枚举p下去了。代码的含义其实相同：如果(p_jmid i)，意味着(p_j=p_1)，因此后面枚举的(p_j)都大于等于(p_1)，就不用继续枚举p了。