[HAOI 2007]反素数ant

Description

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。
现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？

Input

一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

Output

不超过N的最大的反质数。

Sample Input

1000

Sample Output

840

题解

拿到题首先准确无误地题干看错，以为是质因数个数...

这道题其实还是很好做的。首先我们要知道一个定理：

对任一整数$a＞1$，有$a={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}…{p_n}^{a_n}$，其中$p_1<p_2<…<p_n$均为素数，而$a_1$,$a_2$…,$a_n$是正整数。

$a$的正约数个数为：$(1+a_1)(1+a_2)…(1+a_n)$

我们很容易得到一个结论：由于这道题实际上是求$1～n$中因数最多的数中最小的。

从反素数的定义中可以看出两个性质：

（1）一个反素数的所有质因子必然是从$2$开始的连续若干个质数，因为反素数是保证约数个数为的这个数尽量小

（2）同样的道理，如果，那么必有

我们发现：

$2×3×5×7×11×13×17×19×23×29$

$=6,469,693,230>2,000,000,000$

显然只要用这十个数进行讨论就好了。

我们发现之前那个式子中$p$是不好讨论的，那么我们就用搜索实现了。

如果还是不太理解->戳我<-

#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define RE register
#define IL inline
using namespace std;
const LL prime[10]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};

LL n,ans,maxn;

void Dfs(LL pn,LL cnt,LL cen);

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    Dfs(1,1,0);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

void Dfs(LL pn,LL cnt,LL cen)
{
    if (pn>maxn) maxn=pn,ans=cnt;
    if (pn==maxn&&cnt<ans) ans=cnt;
    if (cen==10) return;
    LL a=1;
    for (RE LL i=0;;i++)
    {
        if (cnt*a>n) break;
        Dfs(pn*(i+1),cnt*a,cen+1);
        a*=prime[cen];
    }
}