CodeForces

CodeForces - 1C

题目大意：

给出一个正(N)多边形的三个点，问其最小可能面积是多少。

思路：

多边形各个点肯定都在外接圆上，并且边越多越接近外接圆的面积，因此我们考虑选取尽可能少的边数。

已知三角形ABC三点坐标，可以求出该三角形三边边长，借助海伦公式可以得到(S_{Delta ABC})。

假设有一个三角形，边长分别为(a)，(b)，(c)，三角形的面积(A)可由以下公式求得：

$ A = sqrt{s * (s - a) * (s - b) * (s - c)} $ ，其中 (s = frac{a + b + c}{2})。

该三角形的外接圆半径$ R = frac{abc}{4S} $。

根据余弦定理(cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})可以求出该三角形三个圆心角三角函数值，使用反三角函数(acos())可以得到度数，因为圆心角的度数必为正多边形中心角的整数倍，所以求三者的(gcd)即可得到中心角度数(α)。

易得（任取其中一个非外接圆圆心的顶点做一条垂线）组成正多边形的三角形的面积为(S_{Delta}=frac{R^{2}sin alpha}{2})，三角形个数为(frac{2pi}{alpha })，所以该正多边形最小面积为(S_{min} = frac{pi R^2 sin alpha}{alpha})

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-4;
const double PI = acos(-1.0);

double sq(double x) { return x * x; }
double gcd(double a, double b) {
    if (a < eps) return b;
    if (b < eps) return a;
    return gcd(b, fmod(a, b));
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
    double x1, y1, x2, y2, x3, y3; cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> x3 >> y3;
    double a = sqrt(sq(x1 - x2) + sq(y1 - y2));
    double b = sqrt(sq(x2 - x3) + sq(y2 - y3));
    double c = sqrt(sq(x1 - x3) + sq(y1 - y3));
    //海伦公式
    double s = (a + b + c) / 2;
    double A = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c));
    double r = a * b * c / 4.0 / A;
    //计算圆心角
    double Alpha = acos((2 * sq(r) - sq(a)) / 2.0 / r / r);
    double Beta = acos((2 * sq(r) - sq(b)) / 2.0 / r / r);
    double Gamma = 2 * PI - Alpha - Beta;

    double sta = gcd(Alpha, gcd(Beta, Gamma)); //取最大公约数即为中心角
    double S_min = sin(sta) * (PI / sta) * sq(r);
    cout << fixed << setprecision(8) << S_min << endl;
    return 0;
}

(tips)：

• 三角形面积公式可以采用行列式形式求减少精度损失。
• (eps)精度取太高会导致对圆心角的要求更高，边数增多引起面积变大。
• 由于(double)的精度问题我们需要使用(Gamma = 2 * PI - Alpha - Beta)来计算最大的那个角的度数。
• (fmod(x, y)) 返回(double) (x) (/) (double) (y) 的余数